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Demos la idea de cómo puede demostrarse sintácticamente
esta afirmación. Supongamos que existe algún enunciado P tal que
el cortjunto de axiomas permite demostrar tanto P como no-P y to-
memos un enunciado Q cualquiera. Queremos probar que Q es de-
mostrable. Para ello, recordemos algunas de las reglas de la lógica:

a) De «P» se deduce siempre «no-Q=P».
b) De «no-Q=P» se deduce «no-P=Q».
c) De <<P» y de <<P = Q» se deduce «Q» ( que es conocida como
regla del modus ponens ).

Observemos que todas las reglas están formuladas sintáctica-
mente, apelando a la forma de los enunciados y no a su signifi-
cado. Suponemos, dijimos, que <<P» y «no-P» son demostrables.
Entonces tenemos:

l. «P» es demostrable, por lúpótesis.
2. Se deduce que «no-Q=P» es demostrable, por la regla a).
3. Luego, «no-P= Q» es demostrable, por la regla b ).
4. «no-P» es demostrable, por lúpótesis.
5. De «no-P» (punto 4) y de «no-P= Q» (punto 3), por la regla
de modus ponens, se deduce Q.
6. Luego Q es demostrable.

Como Q era un enunciado cualquiera, deducimos que todo
enunciado es demostrable a partir de los axiomas. Es decir, cual-
quier enunciado es demostrable a partir de un cortjunto inconsis-
tente de axiomas.
Observemos que el razonamiento que hemos hecho es pura-
mente sintáctico. No hemos apelado al significado de P ni de Q, ni
a conceptos semánticos como «verdadero» o «falso». Solo nos
hemos basado en las reglas sintácticas de la lógica y en la «forma»
de los enunciados. Este es el tipo de argumento sintáctico que
Godel usó para exponer la demostración de su teorema.
Cuando Bertrand Russell descubrió su paradoja, en realidad
estaba probando que el sistema de axiomas que había propuesto
Frege era inconsistente. Veamos esta idea con más detalle. Recor-

104 EL SEGUNDO TEOREMA DE GÓDEL