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LA DEMOSTRACIÓN DE GODEL REVISIT ADA

Llegamos así a la formulación sintáctica del primer teorema de
incompletitud de Godel:

Si un conjunto de axiomas aritméticos es consistente y per-
mite demostrar todos los enunciados finitistas verdaderos,
entonces es incompleto; es decir, existe un enunciado G tal
que ni G, ni no-G, ninguno de los dos, es demostrable. (Enten-
demos siempre que solo se admiten demostraciones verifica-
bles algorítmicamente.)

Observemos que, en efecto, en esta versión del teorema sola-
mente aparecen conceptos sintácticos («consistente», «incom-
pleto», «enunciado» y «demostrable»). La noción de «verdad»
aparece asociada a enunciados finitistas, es decir, en su versión
más restringida y sintáctica.
Esta es la formulación sintáctica que presentó Godel en su
artículo de 1931, e igualmente sintácticos fueron los argumentos
que usó para demostrarlo. A continuación, hagamos un repaso de
la demostración que vin10s en el capítulo anterior, con la inten-
ción de ver que puede ser repetida a partir de conceptos exclusi-
vamente sintácticos:

- Paso l. Supongamos que tenemos un conjunto consistente
de axiomas aritméticos que permiten demostrar todos los
enunciados finitistas verdaderos (no indican1os ya que sean
enunciados verdaderos, porque estamos apelando sola-
mente a conceptos sintácticos). Tenemos que probar que
existe un enunciado G tal que ni G ni no-G son demostrables.
Como vimos en el capítulo anterior, Godel le asigna un
código ( o número de Godel) a cada enunciado y a cada
función proposicional, solo que ahora debemos destacar
que la asignación se hace de manera puramente sintác-
tica, basándose en los símbolos que forman cada enun-
ciado o función proposicional, con independencia de cuál
sea su significado. También, e igualmente de manera sin-

EL SEGUNDO TEOREMA DE GÓDEL 109