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UN EJEMPLO DE RUSSELL
Cierta vez, dando una conferencia para
el público en general, Bertrand Russell
comentó que si un conjunto de axiomas
es inconsistente, entonces cualquier afir-
mación es demostrable a partir de ellos.
En realidad, Russell enunció este hecho
en su versión semántica, que afirma que
partiendo de una premisa falsa puede
demostrarse cualquier cosa. Inmedia-
tamente Russell fue desafiado por la
audiencia a demostrar que Smith (uno
de los espectadores) era el papa partien-
do de la premisa falsa de que 1 = O. Para
hacer la demostración, Russell razonó
así: Si 1 = O, entonces, sumando 1 a ambos
miembros, deducimos que 2 = l. Pense-
mos ahora en el conjunto formado por
Smith y el papa. Ese conjunto tiene dos
miembros, pero como 2=1, entonces po-
demos decir que el conjunto tiene sola-
mente un miembro. Es decir, Smith y el
papa son una y la misma persona.

demos que Russell definió un conjunto R formado por todos los
conjuntos que no son miembros de sí mismos.
Si R es miembro de sí mismo, entonces se deduce que no lo
es. Esto es una contradicción, que surge de suponer que R es
miembro de sí mismo, entonces la contradicción demuestra, por
el absurdo, el enunciado «R no es miembro de sí mismo». Pero, de
suponer que R no es miembro de sí mismo, llegamos a la conclu-
sión de que sí lo es. Esto demuestra, también por el absurdo, el
enunciado <<Res miembro de sí mismo». Por lo tanto, la paradoja
de Russell muestra en realidad que existe un enunciado tal que él
y su negación son ambos demostrables a partir de los axiomas de
Frege. En otras palabras, como dijimos antes, muestra que los
axiomas de Frege son inconsistentes.

EL SEGUNDO TEOREMA DE GÓDEL 105