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Universo: 1, 2, 3, 4, 5, ... Universo: 2 + V2, V2, 3 + 7V2, ...
Respuesta: sí Respuesta: no

heim-Skolem» ( demostrado en 1915 por Leopold Lowenheim para
un caso particular y en 1919 por Thoralf Skolem para el caso ge-
neral), que dice que un conjunto de axiomas es consistente si
existe algún universo en el que todos los axiomas son enunciados
verdaderos. Por lo tanto, el conjunto formado por los dos axiomas

Para todo x vale que x + O = x,
2 no es un número primo,

es consistente, ya que hay un universo en el que los dos son simul-
táneamente verdaderos. Sintácticamente, esto significa que no
existe un enunciado P tal que P y no-P sean an1bos demostrables
a partir de esas dos premisas.
Un momento ... ¿podemos tomar «2 no es primo» como
axioma? ¿Los axiomas no deberían ser «evidentes por sí mismos»?
En el mundo puramente sintáctico, en el que verdad y falsedad no
existen, no tiene sentido hablar de enunciados «evidentes por sí
mismos». Cualquier enunciado puede ser tomado como un
axioma. La única condición es que el conjunto total sea consis-
tente. ¿Por qué la consistencia es esencial?¿ Qué sucede si un con-
junto de axiomas es inconsistente? Semántican1ente, esto significa
que no hay ningún universo posible en el que todos los enunciados
sean simultáneamente verdaderos. Pero, ¿tiene la inconsistencia
de un sistema de axiomas alguna consecuencia sintáctica? La res-
puesta es que sí, porque:

Si un conjunto de axiomas es inconsistente, entonces cual-
quier enunciado es demostrable a partir de él.

EL SEGUNDO TEOREMA DE GÓDEL 103