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lo consiguió? Gódel expuso el enunciado y cada paso de la de-
mostración del teorema apelando solamente a conceptos sintác-
ticos.
En el capítulo anterior formulamos el primer teorema de
incompletitud de Gódel ( o teorema de Gódel) de la siguiente
manera:

Si elegimos como axiomas cualquier conjunto de enunciados
aritméticos verdaderos y exigimos que las demostraciones que
hagamos a partir de ellos sean verificables algorítmicamente,
entonces habrá al menos un enunciado verdadero que no pue-
de ser demostrado a partir de esos axiomas.

En esta formulación del teorema aparece el concepto semán-
tico de «verdadero». Por lo tanto, no es esta la forma en que Gódel
lo presentó en su artículo de 1931. La formulación de Gódel es
equivalente, solo que está escrita usando solamente conceptos
sintácticos.
Nuestra intención en lo que sigue es definir los conceptos sin-
tácticos que usó Gódel y reformular en consecuencia su primer
teorema de incompletitud.
Digamos para comenzar que «Ser una demostración ( que se
ajusta a los requisitos del programa de Hilbert)» sí es una propie-
dad sintáctica, ya que es verificable por un ordenador mediante
inspecciones símbolo a símbolo. En consecuencia, la idea de
«enunciado demostrable» es también sintáctica, dado que un
enunciado P es demostrable si existe una demostración que ter-
mina en él.
Inclusive el concepto de «enunciado» puede traducirse sin-
tácticamente. En principio, la definición aristotélica dice que un
enunciado es una expresión a la que se le puede atribuir un valor
de verdad (ya sea verdadero o falso). Por ejemplo:

«x es primo»

no es un enunciado porque su valor de verdad depende de quién
sea x. En cambio:

EL SEGUNDO TEOREMA DE GÓDEL 99