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Godel, con el mismo espíritu, expuso la demostración de su pri-
mer teorema de incompletitud de tal manera que fuera evidente
que su corrección era verificable algorítmicamente, que fuera
obvio que cumplía las condiciones del programa de Hilbert. Y tan
claro resultó este hecho que ni siquiera Hilbert pudo expresar
dudas al respecto.

«Como es bien sabido, el progreso de la matemática hacia
una exactitud cada vez mayor ha llevado a [ ... ]
que las deducciones pueden llevarse a cabo según
unas pocas reglas mecánicas.»

- KURT GüDEL, EN LA INTRODUCCIÓN A SOBRE LAS PROPOSICIONES
FORMALMENTE INDECIDIBLES ••• (1931)

¿Cómo logró Godel este objetivo? ¿Cómo consiguió que fuera
innegable que la demostración de su teorema era verificable por
un ordenador? La explicación reside en lo que podemos llamar la
«dualidad semántico-sintáctica».
En lógica matemática, un concepto relativo a una secuencia
de símbolos es sintáctico si ese concepto depende solamente de
los símbolos que forman la secuencia, sin que tenga la menor im-
portancia su significado, si es que ese significado existe. Por ejem-
plo, si afirmamos que la secuencia de letras «Kuna mbwa
nyekundu» está formada por 18 caracteres (contando espacios),
estamos refiriéndonos a un concepto sintáctico. En efecto, es po-
sible verificar por simple inspección de los símbolos que lo que
estamos diciendo es correcto, sin que nos interese saber si esa
serie de letras posee, o no, algún sentido. Otros conceptos sintác-
ticos serían «La primera letra es una K» o «No aparece la letra h».
Por el contrario, un concepto es semántico si depende del
significado que la secuencia transmite. Por ejemplo, si decimos
que «Kuna rnbwa nyekundu» es verdadera, entonces es claro que
nos estamos refiriendo a un concepto semántico, porque no pode-
mos decidir si es «verdadera» o «falsa» a menos que sepamos pre-
viamente qué significado nos quiere transmitir esa secuencia de
letras (si es que acaso hay alguno).

EL SEGUNDO TEOREMA DE GÓDEL 97