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tiene variables (letras como x, y, z) que puedan ser libremente
reemplazadas por números. Es decir, es una expresión en la que,
o bien no hay variables, tal como sucede en «4 = 2 + 2», o bien
todas ellas están precedidas por expresiones del tipo «Para todo
x vale que ... » o «Existe algún x que ... », tal como sucede en los
dos ejemplos previos. En otras palabras, que una expresión sea, o
no, un enunciado es una condición que puede verificarse por ins-
pecciones símbolo a símbolo, sin que sea necesario recurrir al
significado de estos. Por lo tanto, «enunciado» y «enunciado de-
mostrable» son dos conceptos sintácticos que Godel pudo usar en
la formulación de su teorema.

CONSISTENCIA

Otro concepto esencial para la formulación sintáctica del primer
teorema de incompletitud es el de consistencia. Un conjunto de
axiomas es consistente si no existe ningún enunciado P tal que P
y no-P sean ambos simultáneamente demostrables a partir de esos
axiomas (sintácticamente, no-P se obtiene simplemente colo-
cando a la izquierda de P un símbolo que indique negación).
Aunque en lo que sigue vamos a ver qué relación hay entre ser
«consistente» y ser «verdadero», debe quedar claro que la consis-
tencia es un concepto puramente sintáctico (porque depende de
la noción sintáctica de demostrabilidad).
Observemos que si todos los axiomas son enunciados verda-
deros, entonces el conjunto de axiomas es consistente. En efecto,
como decíamos en el capítulo anterior, de premisas verdaderas
solo se obtienen conclusiones verdaderas. Ahora bien, de los
enunciados P y no-P, exactamente uno de ellos es falso; por lo
tanto, si los axiomas son todos verdaderos, es imposible que P y
no-P sean sin1ultáneamente demostrables ( el que sea falso no será
demostrable).
¿Significa esto que «conjunto consistente de axiomas» es
equivalente a «conjunto de axiomas verdaderos»? La pregunta
es delicada y merece ser analizada con cuidado.

EL SEGUNDO TEOREMA DE GÓDEL 101