Page 128 - 18 Godel

parcial del primero de los problemas que David Hilbert planteó en
su famosa conferencia de 1900, un problema inicialmente formu-
lado por Georg Cantor y que es conocido corno la «hipótesis del
continuo».

CARDINALES

Para entender qué es la hipótesis del continuo debernos volver a
la teoría de Cantor sobre el infinito, que ya tratarnos en el primer
capítulo. Recordemos que un cor\junto, según las palabras del pro-
pio Cantor, es la «reunión en un todo de objetos de la realidad
o de nuestro pensamiento». Tenernos así, por ejemplo, el cor\junto
de todos los días de la semana, el conjunto de todos los meses del
año o el conjunto de los números naturales pares. Algunos de
estos conjuntos son finitos, otros son infinitos.
Un cor\junto es finito cuando es posible contar sus miembros
uno por uno, y esta cuenta termina en algún momento. En los
conjuntos infinitos, en cambio, la cuenta nunca termina. Si tene-
rnos un cor\junto finito podernos perfectamente hablar de cuántos
miembros tiene; por ejemplo, el conjunto de los días de la semana
tiene siete miembros, y el de los meses del año, doce. A la canti-
dad de miembros de un cor\junto, los matemáticos lo llaman su
«cardinal»; de este modo, podernos decir que el cardinal del con-
junto formado por las letras de la palabra «mar» es tres.
El objetivo de Cantor era darle sentido a la idea de cardinal,
o de cantidad de miembros, pero en el caso de los conjuntos infi-
nitos. Sin embargo, ¿cómo puede hablarse de la «cantidad de
miembros» de un conjunto infinito? ¿Puede decirse algo, aparte
del hecho obvio de que esa cantidad es «infinita»? Para responder
a estas preguntas Cantor partió de esta simple idea: imaginemos
que en un gran salón hay una gran cantidad de niños en movi-
miento y al mismo tiempo un gran número de sillas (figura 1), y
que nos gustaría saber si hay la misma cantidad de unos y otras.
Una manera de hacerlo es contar los niños uno por uno, hacer lo
mismo con las sillas, y luego comparar los dos resultados.

128 GÓDEL Y EINSTEIN