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-Axioma 1: La operación es conmutativa, es decir, a* b = b * a.

- Axioma 2: La operación tiene un elemento neutro, es decir,
un número tal que operar con él no produce nin-
gún cambio (si a ese elemento neutro lo llama-
mos e, entonces ª*e=a).

Se llama «modelo» a cualquier ejemplo concreto, a cualquier
operación específica, que cumpla esos axiomas. Por ejemplo, la
suma de números enteros es un modelo, ya que la suma es conmu-
tativa y tiene un elemento neutro ( que es el O). El producto de
números enteros es también un modelo, ya que esa operación es
también conmutativa y tiene un elemento neutro (que es el 1). La
resta de enteros, en cambio, no es un modelo porque no es con-
mutativa (por ejemplo, 2 - 3 no es lo mismo que 3 - 2).
A partir de estos axiomas es posible demostrar sintáctica-
mente ( según la terminología del capítulo anterior) que no puede
haber dos elementos neutros diferentes. Es decir, que si e y e' son
ambos elementos que cumplen el axioma 2, entonces necesaria-
mente e= e'. La demostración es como sigue: Supongamos que e y
e' cumplen ambos el axioma 2. Entonces, como e es elemento neu-
tro, e* e'= e' ( al operar con e no se produce ningún cambio). Pero
e' también es neutro, entonces e'* e= e ( al operar con e' no se pro-
duce ningún cambio). Tenemos así que:

e=e' *e= e*e' = e', y en consecuencia e=e'.

Toda afirmación que se deduzca de los axiomas será válida
necesariamente en todos los modelos, porque esa misma demos-
tración es reproducible en cada ejemplo concreto. Por lo tanto, en
cualquier ejemplo que cumpla los axiomas 1 y 2 ocurrirá que el
neutro de la operación es único. Esto sucede, por supuesto, en
el caso de la suma ( donde no hay otro neutro más que el O) y en el
del producto (donde el único neutro es el 1).
Llamemos ahora «absorbente» a cualquier número f tal que
al operar con él el resultado es nuevamentef (es decir, ª*Í =f), y
consideremos la afirmación P : «La operación tiene un elemento

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