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A su vez, dentro de ese recuadro
2, 3 3 3 3 3 3 3 .. . que hemos dibujado, fijémonos en la dia-
2---- 11,0000000 .. . gonal que comienza en el extremo supe-
rior izquierdo y que va descendiendo
3---- O, 1 2 O 1 1 O 1 .. .
hacia la derecha (véase la figura). El
4---- 3, 1 4 1 5 9 2 6 .. .
papel destacado de esta línea de núme-
5---- 1, 1 1 1 1 1 1 1 .. .
ros hace que a esta demostración se la
conozca con el nombre de la «demostra-
ción de la diagonal».

NATURALES Y RACIONALES

Podría pensarse que el hecho de
que N y lR tengan distinto cardi- o 1 ,_!_ 1 , 2 5
nal consiste en que N es discreto 6 / 3 2 ',3 6
(es decir, su representación grá- '
fica está en puntos aislados), '
mientras que lR no lo es (entre '
dos números reales siempre hay ' '
otros reales, no hay puntos aisla-
1 9 5 11 J_
dos en IR). Sin embargo, ese no
3 24 12 24 2
es el caso. Para verlo, tomemos
el conjunto de los números racio-
nales, que suele representarse con la letra Q, y que contiene a todos los nú-
meros racionales, que son aquellos que se pueden representar como una
fracción (es decir, como el cociente de dos números enteros). Por ejemplo,
1/2 = 0,5 y -4/3 =-1,333 ... son racionales, mientras que ✓2 =1,4142 ... y n= 3,1415 ...
no lo son (aunque cierto, no es obvio que ✓2 y 1t no son racionales y se requie-
re una demostración matemática para justificarlo). Los enteros están incluidos
en los racionales ya que, por ejemplo, 6 = 6/1 . Aunque no completan toda la
recta numérica, los racionales no son discretos: entre dos números racionales
siempre hay otro número racional. Por ejemplo, entre dos números raciona-
les está siempre su promedio. De este modo, entre 1/3 y 1/2 está

y entre 1/3 y 5/12 está el promedio de ambos, y entre 1/3 y ese promedio está
el promedio de ambos, y así sucesivamente (esquema superior).

134 GÓDEL Y EINSTEIN