Page 138 - 18 Godel

la década de 1930. En concreto, en 1938 y 1939 Godel publicó
sendos artículos en los que exponía en forma resumida distintos
aspectos de la primera parte de la solución, que expuso con todo
detalle en un curso dictado en el Instituto de Estudios Avanzados,
cuyos apuntes se editaron en forma de libro en 1940.
La segunda parte de la solución la obtuvo en 1963 Paul
Cohen, matemático norteamericano que también trabajaba en el
Instituto de Estudios Avanzados. Dicen que la primera persona a
la que Cohen le mostró su solución fue a Godel, pero que cuando
fue a verlo este se encontraba en plena crisis maníaco-depresiva
y no quiso dejarlo entrar a su casa, por lo que Cohen tuvo que
pasarle los papeles por debajo de la puerta. Pocos días después,
Godel lo llamó por teléfono invitándolo a tomar el té y Cohen
tomó esta invitación como una señal de que su solución era co-
rrecta; y, en efecto, tan correcta era que por ese trabajo Paul
Cohen recibió la medalla Fields, el equivalente matemático del
premio Nobel.

LA SOLUCIÓN DE GODEL Y COHEN

¿Cuál es la respuesta? ¿La hipótesis del continuo es verdadera o
es falsa? En realidad, podemos decir que todavía no se sabe, por-
que la respuesta que Godel y Cohen encontraron es que ni la hipó-
tesis del continuo ni su negación pueden ser demostradas a partir
de los axiomas de la teoría de conjuntos. Es decir, estos axiomas
son insuficientes para determinar la verdad o falsedad de la afir-
mación. Si llamamos HC al enunciado que dice que «No existe un
conjunto de cardinal intermedio entre N y IR» entonces HC es,
para la teoría de conjuntos, un ejemplo perfecto del primer teo-
rema de incompletitud de Godel: ni ella ni su negación son demos-
trables.
¿Cómo demostraron Godel y Cohen este hecho? Para enten-
derlo, imaginemos por un momento que el símbolo « * » designa
una operación numérica genérica, no especificada, y supongamos
que esta operación cumple los dos axiomas siguientes:

138 GÓDEL Y EINSTEIN