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a todas las distancias posibles. La afinnación es verdadera ... ,
mientras no se encuentre una situación en la que falle.
Ocurre algo similar con las demostraciones semánticas; po-
demos asegurar que de P se deduce Q ... mientras no se encuentre
un universo en el que P sea verdadero, pero Q falle. El programa
de Hilbert quería deshacerse de esta incertidumbre al proponer
métodos de demostración cuya corrección fuera verificable de
una vez para siempre.
Repitamos lo dicho más arriba: todo enunciado aritmético
verdadero puede demostrarse a partir de los axiomas de Peano, si
admitimos métodos semánticos. Pero jamás podremos tener la

postulado era aún mucho más compleja (la que se muestra más arriba, que
es la formulación más conocida, fue propuesta por el matemático inglés John
Playfair a finales del siglo x1x). Es interesante agregar, además, que en sus
demostraciones Euclides utiliza lo menos posible el quinto postulado (como
si él mismo desconfiara un poco de su validez).

La demostración de Eugenio Beltrami
Durante muchos siglos se creyó que el quinto postulado era en realidad un
teorema que podía demostrarse a partir de los otros cuatro. A lo largo del
tiempo se hicieron muchos intentos de lograr una demostración, pero todos
fracasaron. Finalmente, en 1868, Eugenio Beltrami demostró que el quinto
postulado es indecidible con respecto a los otros cuatro, es decir, que ni el
postulado ni su negación pueden ser demostrados a partir de ellos. Este fue,
históricamente, el primer ejemplo conocido de indecidibilidad con respecto a
un conjunto de axiomas, décadas antes de que Gódel demostrara su teoréma.
En realidad, el quinto postulado tiene dos negaciones: una de ellas dice que
por un punto exterior a una recta no pasa ninguna paralela a ella, la otra ne-
gación dice que pasa más de una paralela. Tanto el quinto postulado como
sus negaciones pueden ser agregados a los otros cuatro y en todos los casos
se obtiene un conjunto consistente de axiomas. Cuando se agrega el quinto
postulado se obtiene, por supuesto, la geometría de Euclides; en los otros dos
casos se obtienen las llamadas geometrías no euclídeas. Hoy en día se acepta
que las tres son igualmente válidas; las geometrías no euclídeas son las más
adecuadas para describir un espacio einsteniano curvado por la presencia de
masas, mientras que la geometría euclídea es la que más se adapta a nuestra
percepción de los fenómenos cotidianos.

LAS CONSECUENCIAS DEL TRABAJO DE GÓDEL 159