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De P se deduce Q

Universos donde Pes verdadero Universos donde Q es verdadero
(una cantidad potencialmente infinita) (una cantidad potencialmente infinita)

.
En todo universo donde Pes verdadero... . . Q también lo es.

toda verdad aritmética es demostrable a partir de los axiomas de
Peano, donde, como vimos en la demostración anterior, por mé-
todos semánticos entendemos métodos basados fuertemente en
la noción de «verdad». Concretamente, la regla lógica que se usa
en estos razonamientos es esencialmente la siguiente: de P se de-
duce Q si en todo universo ( o modelo) donde P sea verdadera
sucede siempre que Q también es verdadera (véase la figura). Re-
tomemos el ejemplo de demostración que vimos en el capítulo 2 y
preguntémonos si es válida la siguiente deducción:

De la igualdad (a-b) • a= (a-b) · e deducimos que a=c.

Donde Pes un enunciado «(a-b) • a= (a-b)-b» y Q es «a=c».
La deducción no es válida porque existe un modelo (un ejemplo)
en el que P es verdadera, pero Q falsa. En efecto, si tomamos
a= b = 2 y e= 3 ocurre que Pes verdadera y Q, falsa.
Ahora bien, dado un enunciado existe un número potencial-
mente infinito de universos donde puede llegar a ser verdadero.
Esto quiere decir que si en un paso de una demostración semán-
tica decimos que de P se deduce Q, para verificar que esto es
correcto tendríamos que verificar los potencialmente infinitos uni-

LAS CONSECUENCIAS DEL TRABAJO DE GÓDEL 157