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actual, no existe todavía un consenso unánime acerca de qué rela-
ción existe entre los teoremas de Godel y la naturaleza de los ob-
jetos matemáticos. Después de todo, solamente han pasado poco
más de ochenta años desde la publicación de los teoremas de
Godel, un tiempo demasiado breve como para pretender que haya
alguna conclusión filosófica definitiva.

LA VERDAD MATEMÁTICA

Se ha dicho en muchos libros de divulgación que el primer teorema
de incompletitud de Godel prueba que es imposible hallar un con-
junto de axiomas para la aritmética que permita demostrar todas
las verdades de esta teoría; pero esa afirmación, en realidad, no es
correcta. Como ya hemos dicho muchas veces, esto es verdad so-
lamente si nos limitamos a los métodos de demostración admitidos
por el programa de Hilbert. Sin embargo, existen otros métodos de
demostración.
¿Es posible dar un ejemplo de una demostración que escape a
los cánones admitidos por el programa de Hilbert? La respuesta es sí.
Para mostrar un ejemplo, recordemos los axiomas de Peano, que son
axiomas que se refieren a los números naturales y que toman como
elementos primitivos a la suma, el producto y la función sucesor:

Axioma 1: Ningún número tiene como sucesor al l.
Axioma 2: Si dos números tienen el mismo sucesor, entonces
son iguales.
Axioma 3: El sucesor de x es x + l.
Axioma 4: (x +y)+ l = x +(y+ 1).
Axioma 5: El producto de x por 1 es x.
Axioma 6: x · (y + l) = x · y + x.
Axioma 7: Si el 1 cumple una cierta propiedad y se puede ase-
gurar que siempre que x cumple la propiedad, en-
tonces su sucesor también la cumple, entonces,
bajo esas condiciones, se puede asegurar que todo
número cumple la propiedad.

LAS CONSECUENCIAS DEL TRABAJO DE GÓDEL 155