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LOS AXIOMAS DE LA TEORÍA DE CONJUNTOS

La paradoja de Russell se resolvió finalmente gracias a una reformulación de
los axiomas de la teoría de conjuntos propuesta, en primer lugar, por el ma-
temático alemán Ernst Zermelo en 1908 y perfeccionada pocos años después
por el también alemán Abraham Fraenkel. Aunque existieron otras propuestas
equivalentes (una de ellas presentada por el propio Gódel), la teoría axiomá-
tica de Zermelo-Fraenkel (o Z-F, como se la suele llamar) es hoy en día la
teoría de conjuntos por excelencia:

l. Dos conjuntos son iguales si tienen exactamente los mismos miembros.
2. Existe el conjunto vacío.

3. Dados x e y existe el par ordenado (x,y).
4. La unión de conjuntos también es un conjunto.

5. Existe al menos un conjunto infinito.
6. Toda propiedad que pueda ser expresada en el lenguaje formal de la
teoría de conjuntos puede ser usada para definir un conjunto.

7. Dado un conjunto, existe siempre el conjunto formado por todos sus
subconjuntos.

8. Dada una familia finita o infinita de conjuntos no vacíos existe siempre un
conjunto que contiene exactamente un miembro de cada conjunto de la
familia.

9. Ningún conjunto es miembro de sí mismo.
El axioma clave para evitar la paradoja de Russell es el sexto, que especifica
en qué propiedades pueden basarse las definiciones de los conjuntos. Este
axioma, en combinación con el noveno, permite demostrar que el conjunto
paradójico de Russell simplemente no existe.

Panu Raa.tikainen, quienes han sostenido que los argumentos de
Godel se basan en supuestos cuya validez es cuestionable ( como
el hecho de que en todas las mentes humanas existe un mismo
modelo de los números naturales). El hecho es que, al momento

154 LAS CONSECUENCIAS DEL TRABAJO DE GÓDEL