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versos donde P es verdadero y comprobar que en todos ellos Q
también es verdadero. Esta comprobación ( que involucra un nú-
mero infinito de verificaciones) no puede ser realizada por una
computadora, pero tampoco queda claro que pueda ser realizada
por una mente humana.
De alguna manera, esto equipara a las matemáticas con las
ciencia fácticas. En física, pongamos por caso, toda teoría es pro-
visional. Que la atracción gravitatoria entre dos cuerpos dismi-
nuye con el cuadrado de la distancia es una afirmación provisional
porque nunca podremos verificar la intensidad de la atracción gra-
vitacional de todos los pares de cuerpos que existan en el universo

LAS GEOMETRÍAS NO EUCLÍDEAS

La geometría de Euclides, expuesta en
su obra Elementos de geometría (siglo
111 a.C.), es una teoría basada en cinco pos-
tulados, o axiomas, que traducidos al len-
guaje moderno pueden formularse como
sigue:

l. Por dos puntos puede trazarse una
única recta.
2. Un segmento puede prolongarse por
cualquiera de sus extremos.
3. Con cualquier centro y cualquier radio
puede trazarse una circunferencia.

4. Todos los ángulos rectos son iguales El matemático italiano Eugenio Beltrami.
entre sí.

5. Por un punto exterior a una recta puede trazarse una única paralela a ella.
Los cuatro primeros postulados son palmariamente evidentes; en cambio, el
quinto tiene una complejidad conceptual mayor y puede no resultar tan obvio
como los otros. De hecho, la formulación original de Euclides para el quinto

158 LAS CONSECUENCIAS DEL TRABAJO DE GÓDEL