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Vamos a demostrar a continuación que los axiomas de Peano
son consistentes. Comencemos por observar que los siete axio-
mas son enunciados verdaderos ( en el universo de los números
naturales). Ya hemos dicho que de premisas verdaderas solamente
pueden deducirse afirmaciones verdaderas; por lo tanto, ningún
enunciado falso podrá deducirse de los axiomas de Peano. Pero
también hemos dicho que si un coitjunto de axiomas es inconsis-
tente, entonces todo enunciado es demostrable a partir de él.
Dado que hay enunciados que no son demostrables a partir de los
axiomas de Peana (los enunciados falsos no son demostrables),
concluimos que los axiomas de Peano son consistentes.
Ahora bien, el segundo teorema de incompletitud dice que no
se puede demostrar la consistencia de los axiomas de Pean o .. . ,
pero acabarnos de demostrarla. ¿Cómo es posible? La respuesta,
por supuesto, es que el segundo teorema de incompletitud dice,
en realidad, que no es posible demostrar la consistencia de los
axiomas de Peana usando los métodos del programa de Hilbert.
La demostración de consistencia que acabarnos de hacer, en con-
secuencia, es un razonamiento correcto, pero que escapa a las
restricciones de ese programa: la corrección de la demostración
no es verificable algorítmicamente.
Esto nos lleva directamente a una consecuencia de los teore-
mas de Godel: no existe un algoritmo que pueda verificar en todos
los casos la verdad o falsedad de un enunciado aritmético (si así
fuera, la computadora podría verificar la corrección de la demos-
tración de consistencia que hemos hecho más arriba, lo cual, por
el segundo teorema de Godel, es imposible). En otras palabras,
jamás se podrá programar una computadora de modo que pueda
demostrar todas las coitjeturas de la aritmética (se trata de una li-
mitación esencial que los avances tecnológicos no podrán supe-
rar), las computadoras jamás superarán a los matemáticos ( aunque,
como veremos más adelante, tampoco queda claro que los mate-
máticos sean siempre capaces de superar a las computadoras).
Vemos así que el segundo teorema de incompletitud pasa a
ser falso si admitimos métodos semánticos de demostración.
Pero, ¿qué ocurre con el primer teorema de Godel? Pues bien,
puede probarse que si admitimos métodos semánticos, entonces

156 LAS CONSECUENCIAS DEL TRABAJO DE GÓDEL