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LOS AXIOMAS DE PEANO

En su conferencia de 1900, David Hilbert
planteó como primer problema el hallar
un conjunto de axiomas para la aritméti-
ca que permitieran demostrar todas las
verdades de la teoría (aunque sin hacer
referencia a la necesidad de una verifica-
ción mecánica de la corrección de los
razonamientos utilizados). En su diserta-
ción, Hilbert no mencionó la existencia
de trabajos anteriores en ese sentido.
Esta omisión despertó el malestar de
Giuseppe Peano, matemático italiano,
presente en la conferencia de Hilbert,
quien había propuesto en 1889 un con-
junto de axiomas para la aritmética con
la intención de que estos permitieran de-
ducir todos los enunciados aritméticos verdaderos. Los axiomas de Peano, tal
el nombre con el que se los conoce actualmente, tienen como elementos
primitivos al número 1, y a los signos de la suma(+), del producto O y de la
función sucesor (S):

- Axioma 1: S(x) nunca es igual a 1, es decir, 1 no es el sucesor de ningún
número.
- Axioma 2: Si S(x) = S(y) entonces x = y .
- Axioma 3: x + 1 = S(x).
- Axioma 4: x + S(y) = S(x + y).
- Axioma S: x · 1 = x.
- Axioma 6: x · S(y) = x · y + X.
- Axioma 7: Si puede probarse que el 1 cumple una cierta propiedad y que
siempre que x la cumple, entonces S(x) también, puede dedu-
cirse que la propiedad vale para todos los números naturales.

El último axioma, llamado «esquema de inducción», expresa el hecho de que
todos los números naturales se obtienen a partir del 1 por aplicaciones repe-
tidas de la función sucesor. Si una propiedad vale para el 1 y podemos asegu-
rar que se propagará de cada número a su sucesor, entonces la propiedad
valdrá para todos los números naturales. Una consecuencia del teorema de
Gódel es que si incluimos la condición de que los razonamientos deban ser
verificables algorítmicamente, entonces existen verdades aritméticas que son
indemostrables a partir de estos axiomas, es decir, que la aritmética así plan-
teada es incompleta.

46 LA CRISIS DE LOS FUNDAMENTOS