Page 45 - 18 Godel

APROXIMACIONES DE ✓2

Para los intuicionistas, ✓2 solo existe como el resultado inalcanzable al que se
van acercando asintóticamente sucesivas aproximaciones. Estas aproxima-
ciones, a su vez, deben ser calculadas siguiendo ciertas fórmulas bien espe-
cificadas. Existen muchísimas fórmulas que permiten calcular aproximaciones
2
sucesivas de ✓. Una de las más antiguas, y al mismo tiempo de las más sen-
cillas, era ya conocida por Herón de Alejandría en el siglo 1. Traducida al len-
guaje moderno, la «receta» de Herón para aproximar ✓2 dice así:
- Paso 1: Tome un número positivo cualquiera.
- Paso 2: Llame x al número elegido y calcule

- Paso 3: Aplique la misma fórmula al resultado obtenido.
- Paso 4: Siga aplicando la misma fórmula tantas veces como desee.

Por ejemplo, si en el primer paso elegimos el 5, al aplicar la fórmula por pri-
mera vez obtendremos 2,7. Si introducimos el 2,7 en la fórmula obtendremos
1,72037037 ... ; luego 1,4414553 ... ; luego 1,41447098 ... y así sucesivamente, acer-
cándonos cada vez más a ✓2.

El problema de hallar un sistema de axiomas para la aritmé-
tica había sido ya formulado por Hilbert en su conferencia de 1900
( era el segundo problema de la lista), aunque aquella fom1ulación
no incluía la exigencia de la verificación mecánica de los razona-
mientos. Sin embargo, la cuestión algorítmica sí aparecía en otro
problema, el décimo, que preguntaba si siempre sería posible de-
terminar mecánicamente si cierto tipo de ecuaciones (llamadas
diofánticas) tenían, o no, solución. Como vemos, dos de las ideas
centrales del programa formalista ya aparecían, aunque por sepa-
rado, en aquella conferencia de París.
Se ha dicho a veces que Hilbert proponía que el trabajo del
matemático debía reducirse a un proceso mecánico, equivalente
al de un ordenador, que calcula pero no piensa. Ese no es el caso.
El proceso creativo de los matemáticos no sufriría ninguna altera-

LA CRISIS DE LOS FUNDAMENTOS 45