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Como ya se ha expuesto, el pensamiento intuicionista estaba
totalmente dominado por la idea de finitud. Solo existían los obje-
tos matemáticos que podían construirse mecánicamente a partir
de los números naturales en una cantidad finita de pasos. Núme-
ros irracionales como n o .Jz solo podían ser vistos como el re-
sultado inalcanzable de sucesivos cálculos basados en fórmulas
específicas.
La propuesta de Hilbert consistió esencialmente en llevar
esta exigencia de finitud de los objetos matemáticos a los razo-
namientos matemáticos. Podemos parafrasear su idea de la si-
guiente manera: establezcamos métodos de razonamiento tales
que la corrección de nuestras argumentaciones sea verificable
algorítmicamente en una cantidad finita de pasos ( un algoritmo
es una receta mecánica progran1able en un ordenador). Asegu-
rémonos además, de esa misma manera «finitista», que nuestras
demostraciones nunca nos llevarán a una paradoja. Una vez lo-
grado este objetivo, nuestras teorías podrán hablar sin temores
de cualquier objeto, incluso del infinito en acto.
Más concretamente, el programa de Hilbert, también llamado
«programa formalista», planteaba que toda teoría matemática
debía estar basada en axiomas, es decir, en ciertas afirmaciones
básicas aceptadas como verdaderas. Cualquier otra verdad de la
teoría debía ser demostrable a partir de esos axiomas mediante
razonanúentos cuya validez fuese verificable mecánicamente en
una cantidad finita de pasos. Además, la consistencia de esos axio-
mas ( el hecho de que nunca nos conducirían a una paradoja, como
sí le había sucedido a Frege) debía ser también verificable de la
misma fom1a mecánica, o algorítmica.
En principio, la intención era desarrollar este programa para
la aritmética, la teoría que se refiere a las propiedades de la sun1a
y el producto de números naturales ( es decir, la teoría que habla
de los números más sencillos y de las operaciones más simples).
Hilbert, al igual que los intuicionistas, sostenía que la base de to-
das las matemáticas debía ser la aritmética, y no la teoría de con-
juntos. Una vez establecida una base sólida para la aritmética,
sería fácil lograr un fundamento igualmente sólido para todas las
demás teorías.

44 LA CRISIS DE LOS FUNDAMENTOS