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EL TEOREMA DE COMPLETITUD

Para entender el teorema de completitud de Godel debemos pro-
fundizar antes en la teoría de la demostración matemática según
el programa de Hilbert. Este programa, recordemos, pedía hallar
un conjunto de axiomas que permitieran demostrar todas las ver-
dades de la aritmética mediante razonamientos verificables algo-
rítmicamente. Pero ¿qué es exactamente la aritmética? ¿Cuáles
son esas verdades que uno quiere demostrar?.

«El objetivo de mi teoría es el de establecer de una vez
por todas la certidumbre de los métodos matemáticos.»

- D AVlD-B ILBERT EN SOBRE EL INFINITO (1925).
La aritmética es la rama de las matemáticas que habla de las
propiedades de la suma y el producto de los números naturales: 1,
2, 3, 4, 5, 6, 7, .. . e involucra conceptos tales como «número
primo», «número perfecto», «número triangular» o «número par».
La teoría en sí está formada por todas las afinnaciones (también
llamadas proposiciones o enunciados) relativas a esas nociones,
como por ejemplo: «1 + 1 = 2», «2 es par», «5 es primo», «Todo
número divisible por 4 es par» o «La suma de dos números impa-
res da como resultado un número par». Los axiomas buscados por
Hilbert serían un conjunto de verdades básicas de las cuales fuese
posible deducir, con las condiciones ya expuestas para los razo-
namientos, todas las demás afinnaciones aritméticas verdaderas,
entre ellas, las mencionadas más arriba.
Por otra parte, ¿qué significa que la validez de los razonamien-
tos que demuestran esas verdades sea verificable algorítmicamente?
Esto quiere decir que, al menos en principio, debería ser posible
programar un ordenador de tal modo que fuera capaz de determinar
en una cantidad finita de pasos si una demostración matemática es
válida o no. De acuerdo con esta idea, introduciríamos la demostra-
ción en la máquina, esta la procesaría siguiendo una receta previa-
mente programada, y al cabo de un tiempo (tal vez largo, tal vez
corto, pero en cualquier caso siempre finito), la máquina nos diría si
el razonamiento es válido o si contiene algún error.

58 EL PRIMER TEOREMA DE GÓDEL