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eliminamos el paréntesis (b-a) y concluirnos que a=b +a.Esto
es erróneo porque (b-a) vale O (dado que a=b) y un O que esté
multiplicando no puede cancelarse en una igualdad. Traducido a
números, suponiendo por ejemplo que a y b valgan 2, el salto del
paso 5 al 6 equivale a haber dicho que corno 2 • O= 4 • O ( que es ver-
dad) entonces 2 = 4.
Pero ¿cómo podríamos «enseñarle» a un ordenador a detec-
tar esta clase de errores? Un ordenador es solo una máquina; no
razona, sino que sigue ciegamente la «receta» que hayamos pro-
gramado en su memoria. Para que un ordenador sea capaz de ve-
rificar la corrección de un razonamiento matemático un requisito
necesario es que este pueda ser traducido a una sucesión de enun-
ciados cada uno de los cuales, o bien es un axioma, o bien se de-
duce de enunciados precedentes por la aplicación de reglas
lógicas bien precisas y especificadas de antemano.
Veamos un ejemplo de demostración matemática expresado
de esta manera. Para poder mostrarlo necesitan1os primero algu-
nos axiomas que nos sirvan de punto de partida. En 1889, mucho
antes de que fuera descubierta la paradoja de Russell, el matemá-
tico italiano Giuseppe Peano había propuesto un cor\junto de
axiomas que ( él suponía) permitían demostrar todas las verdades
aritméticas. Estos axiomas se basaban en las operaciones de
suma ( +) y producto (-), y en la noción de «sucesor» (indicada con
la letraS).
Entendía Peano que la sucesión de los números naturales se
obtenía a partir del número 1 por aplicaciones repetidas de la fun-
ción sucesor. De este modo, el 2 se define corno el sucesor del 1,
en símbolos S(l) = 2; el 3 es, por definición, el sucesor del 2, o sea
S(2) = 3; y así indefinidamente.

Para nuestro ejemplo de demostración bastará con tornar dos
de los axiomas de Peano, aquellos que se refieren a la suma:

Axioma 1: Cualquiera que sea el número x, vale que x + l =
= S(x).
Axioma 2: Cualesquiera que sean los números x e y, vale que
S(x + y) = x + S(y).

60 EL PRIMER TEOREMA DE GÓDEL