Page 64 - 18 Godel

EL LENGUAJE FORMAL
Tanto el programa de Hilbert como la demostración de Gódel suponen que
todos los enunciados aritméticos están escritos en un lenguaje formal con
símbolos establecidos de antemano. Hay diferentes elecciones posibles para
los símbolos, una selección de las cuales es la siguiente:

tf. Se llama «cuantificador universal» y se lee «Para todo». Indica que
la propiedad que se enuncia es válida para cualquier número.
=>: Es el símbolo de implicación; «P = Q» significa «Si P entonces Q».
~: Es el símbolo de la negación; «~ P» significa «no-P».
=: Signo igual.
1: Número uno.
S: Indica «sucesor».
+: Símbolo de la suma.
• (punto): Símbolo del producto.
( ): Paréntesis.
x,, x , x , ... : Variables.
2 3
Algunas presentaciones prefieren tomar al O como primer elemento, lo que
no representa una diferencia esencial. Usando los símbolos que hemos dado
aquí, el número 2 se escribe como 5(1), es decir, el siguiente del l . El número
3 se escribe como S[S(l)]. es decir, el siguiente del siguiente del l. Y así su-
cesivamente.

plazada por la otra». Esta última regla es la que justifica el salto
del paso 2 al paso 3, en el cual S(l) es reemplazado por 2.
En realidad, si existe un número potencialmente infinito de
enunciados universalmente válidos ¿cómo podríamos entonces
cargarlos a todos en la memoria de un ordenador? Si no pudiéra-
mos hacerlo, este seria incapaz de verificar la validez de cualquier
razonamiento y, en consecuencia, el programa de Hilbert sería
inmediatamente irrealizable. Pero al mismo tiempo, ningún orde-
nador concebible tiene la capacidad de contener «infinitos»
enunciados.
Por fortuna, en su teorema de completitud Gi:idel demostró
que, aunque la cantidad de reglas lógicas es potencialmente infi-
nita, todo razonamiento puede realizarse usando solo doce de

64 EL PRIMER TEOREMA DE GÓDEL