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LAS DOCE REGLAS LÓGICAS
En su tesis doctoral, presentada en 1930, Gódel demostró que todo razona-
miento que sea verificable algorítmicamente puede fundamentarse usando
solo doce reglas lógicas, que listamos a continuación. En lo que sigue, «P=> Q»
es una abreviatura de «Si P entonces Q» y « lfxP(x)» es una abreviatura de
«Todo x cumple la propiedad P>,.
l. Si vale el enunciado Q, entonces, cualquiera que sea P, vale el enunciado
«P =>Q».
2. Si vale «P=>(O=>R)» y también vale «P=>Q» entonces vale «P=>R».
3. Si vale «no-Q=no-P» entonces también vale «P=>Q».
4. Si vale« lfxP(x)» entonces vale «P(n) », donde n es un número cualquiera.
5. Si vale« lfx[(P=Q(x)]» entonces vale «P=>[ lfxQ(x)]», siempre que la letra
x no aparezca en P.
6. Cualquiera que sea el número x, vale que x=x. -
7. Cualesquiera que sean los números x e y, vale que si x = y entonces y =x.
8. Cualesquiera que sean los números x, y, z vale que si x = y e y=z entonces
x =z.
9. Si x = y entonces puede reemplazarse x por y en cualquier expresión nu-
mérica.
10. Si x= y entonces puede reemplazarse x por y en cualquier enunciado.
11. Si vale P y vale «P=> Q» entonces vale Q.
12. Si vale P(x) para un x genérico entonces vale « lfxP(x)».
En general, las diez primeras reglas se presentan como enunciados universal-
mente válidos, mientras que a las dos últimas se les da una presentación di-
ferenciada como «reglas de inferencia». Esta distinción es puramente técnica
y no tiene relevancia para nuestros fines.

de la demostración fue enviado a la revista Monatshefte für Ma-
thematik und Physik en noviembre y apareció en el volwnen 38
(1931), una publicación cuya relevancia para la lógica es solo
comparable con la Metafísica de Aristóteles. La exposición de la
demostración fue tan clara y transparente que no generó ni la más
mínima controversia.
Pero, ¿cómo es posible demostrar un hecho de esa enverga-
dura? ¿Cómo puede probarse que cualquiera que sea el conjunto
de axiomas que se elija (si los razonamientos son verificables al-

66 EL PRIMER TEOREMA DE GÓDEL