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gorítmicamente) entonces siempre habrá alguna verdad que es
indemostrable a partir de ellos? Nos proponemos ahora explicar
la demostración de este hecho y para ello iremos, paso a paso, por
los puntos principales del razonamiento de Godel.

LA IDEA GENERAL DE LA DEMOSTRACIÓN

Aquí comienza la explicación de la demostración del teorema de
Godel. Supongamos que se han elegido como axiomas algunos
enunciados aritméticos verdaderos. Observemos en primer lugar
que el hecho de que los axiomas sean afirmaciones verdaderas
garantiza que todos los enunciados que se demuestren a partir de
ellos serán también verdaderos, ya que de premisas verdaderas (si
los métodos de razonamiento son correctos) solo pueden ex-
traerse conclusiones verdaderas. Este hecho nos asegura que nin-
gún enunciado demostrable será falso; sin embargo, no nos
garantiza de ninguna manera que todas las verdades serán demos-
trables. De hecho, nuestro objetivo es probar que existe necesa-
rian1ente algún enunciado aritmético verdadero que no puede ser
demostrado a partir de esos axiomas (si nos ajustamos a los mé-
todos de demostración del programa de Hilbert).
La idea general de la prueba de Godel consiste en obtener un
enunciado G que diga: «G no es demostrable». En otras palabras,
G puede escribirse como: «Esta afirmación no es demostrable».
El enunciado G es autorreferente y dice de sí mismo que no
es demostrable ( en todo lo que sigue, la palabra «demostrable»
siempre debe entenderse como «demostrable a partir de los axio-
mas propuestos»). Probemos que este enunciado G es una verdad
no demostrable.
Para comenzar, observemos que G es verdadero, o falso. Si G
fuera falso, debido a lo que G dice de sí mismo, concluiríamos que
G es demostrable. Luego G sería a la vez falso y demostrable, pero
esto es imposible (porque dijimos que partiendo de axiomas ver-
daderos solamente podrán demostrarse enunciados verdaderos).
Por lo tanto, G no puede ser falso.

68 EL PRIMER TEOREMA DE GÓDEL