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enunciados que la forman (y que están indicados junto al enun-
ciado correspondiente).
Por supuesto, como en los casos anteriores, debe existir una
«receta» mecánica que indique cómo debe ser calculado el código
de una sucesión de enunciados y otra receta inversa que, dado un
código, permita recuperar la sucesión de enunciados que le co-
rresponde. Nuestra receta de calcular el código de la sucesión
como el producto de los códigos individuales no es válida porque
ignora el orden de los enunciados en la sucesión (si pemmtamos
los enunciados, el código de la sucesión resultante sigue siendo el
mismo, y esto no debería suceder porque al pennutarlos se ob-
tiene en realidad una sucesión diferente). Sin embargo, dado que
se trata solamente de un ejemplo hipotético, no nos preocupare-
mos por esta cuestión.

«SER DEMOSTRABLE» ES EXPRESABLE

Los códigos, o números de Godel, no solamente logran que un
enunciado aritmético hable de otro enunciado, sino que además
podemos hacer que se refiera a la demostrabilidad de ese enun-
ciado. Por ejemplo, dada una afirmación P, podremos escribir un
enunciado aritmético que diga «P no es demostrable». Veamos
cómo se consigue este objetivo.
Una vez que se ha elegido un conjunto de axiomas, queda
perfectan1ente fijado cuáles enunciados son demostrables y cuá-
les no lo son ( aunque puede ser muy difícil determinar en la prác-
tica si un enunciado dado es demostrable o no). A cada enunciado
demostrable, a su vez, le corresponde un número de Godel. Tene-
mos entonces un conjunto de números bien establecido: el con-
junto formado por los códigos de los enunciados demostrables.
Godel probó que este conjunto queda caracterizado por una
propiedad aritmética bien definida. En otras palabras, probó que
«Ser el código de un enunciado demostrable» es una propiedad
expresable en el lenguaje de la aritmética ( que usa como elemen-
tos básicos la suma, el producto y las operaciones lógicas). En

EL PRIMER TEOREMA DE GÓDEL 73