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Por lo tanto, dados x e y, la propiedad «y es el código de una
demostración que termina en el enunciado de código x» es tam-
bién una propiedad verificable algorítmicamente, ya que al proce-
dimiento anterior solo hay que agregarle la verificación de que la
secuencia termina con el enunciado que corresponde al número
de Godel x. Como la propiedad es verificable algorítmicamente,
entonces la función proposicional «y es el código de una demos-
tración que termina en el enunciado de código x » es expresable
en términos de sumas, productos y operaciones lógicas.
Finalmente concluirnos que la expresión «Existe algún y que
es el código de una demostración que termina en el enunciado de
código x » también es expresable en términos aritméticos. Pero, si
la leemos con atención, veremos que esta última expresión dice
que existe alguna demostración del enunciado de código x; en
otras palabras, que el enunciado de código x es demostrable. De-
ducimos así que la función proposicional «x es el código de un
enunciado demostrable» es expresable en términos aritméticos.
Por lo general, esta traducción aritmética es tan complicada
que su escritura explícita podría llegar a ocupar decenas de pági-
nas. Sin embargo, a efecto de entender la idea de la demostración
de Godel, supondremos, a modo de ejemplo hipotético, que la pro-
piedad que caracteriza a los códigos de los enunciados demostra-
bles es la de «Ser un primo que puede escribirse como suma o resta
de tres primos consecutivos». Asumirnos entonces que <<X es el có-
digo de un enunciado demostrable» equivale a <<X es un primo que
puede escribirse como suma o resta de tres primos consecutivos».
Antes de continuar, entendamos bien esta propiedad aritmé-
tica. Los números primos son aquellos que solamente son divisi-
bles por 1 y por sí mismos. Hay infinitos primos y los primeros
son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ... (como ya dijimos en el capítulo
anterior, por razones técnicas el 1 no se considera primo).
El número 23, por ejemplo, es primo, y además puede escri-
birse como suma o resta de tres primos consecutivos, ya que
23 = 17 + 19-13 (nótese que 13, 17 y 19 son consecutivos en la su-
cesión de los números primos, aunque no los hayamos escrito en
ese orden al hacer las operaciones). En nuestro ejemplo, podemos
asegurar que 23 es el código de un enunciado demostrable. Por el

76 EL PRIMER TEOREMA DE GÓDEL