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«x2 es múltiplo de 18» y ambas son, con pleno derecho, funciones
proposicionales.
Hechas estas aclaraciones, veamos ahora la definición de la
función d(x), que en realidad se calcula solamente para números
que son los códigos de funciones proposicionales. Para mayor cla-
ridad, explicaremos la definición sobre un ejemplo. Tomemos el
código de una función proposicional, por ejemplo 171, que hemos
supuesto es el número de Godel de la expresión <<X es par». A
continuación, en esa función proposicional reemplazamos x por
el número 171. Obtenemos así el enunciado «171 es par». El có-
digo de este enunciado es d(l 71), el número que la función diago-
nal le asigna al 171:

171 - corresponde a <<X es par» --+ reemplazamos x por 171 --+
- «171 es par» - d(l 71) es el código de «171 es par».

En los ejemplos iniciales dijimos que «171 es par» tiene como
código el número 61. Por lo tanto, d (171) = 61. La función diago-
nal, al número 171 le asigna el 61.
A modo de segundo ejemplo, calculemos d(l62), siendo 162
el código de «x es divisible por 18»:

162 --+ corresponde a «x es divisible por 18» - reemplazamos
x por 162 - «162 es divisible por 18» - d(l62) es el código
de «162 es divisible por 18».

Como «162 es divisible por 18» tiene código 103, entonces
d(l62) = 103.
Todos los pasos que definen a la función diagonal pueden
calcularse algorítmicamente, por lo tanto, su definición es expre-
sable usando sumas, productos y operaciones lógicas. Esta cir-
cunstancia nos da derecho a insertar la función nun1érica d(x ) en
la expresión de una función proposicional, del mismo modo que
2
en ejemplos anteriores lo hicimos con x o x + 3. De este modo,
por ejemplo, podemos escribir la expresión «d(x) es par».
Supongamos ahora que a «d(x ) es par» le corresponde el có-
digo 423 y apliquemos el procedimiento para calcular d ( 423):

EL PRIMER TEOREMA DE GÓDEL 79