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del número 43. Solamente cuando lo vemos a través del cristal de
la codificación de Godel se transforma en autorreferente y puede
leerse como diciendo de sí mismo que no es demostrable. En el
capítulo siguiente veremos que esta observación sobre los dife-
rentes niveles de lectura permite superar una paradoja aparente
que surge del análisis del segundo teorema de Godel.

UNA VERDAD NO DEMOSTRABLE

Una pregunta que suele surgir en relación al primer teorema de
incompletitud es la siguiente: si G es una afirmación no demostra~
ble, ¿cómo podemos asegurar que es verdadera?
La respuesta es que «demostrable» es un término relativo.
Dado un conjunto A de axiomas, existe un enunciado verdadero
G que no es demostrable a partir de esos axiomas (usando los
métodos de demostración admitidos por el programa de Hilbert).
Pero nada impide que G sea demostrable a partir de otros axiomas
o mediante otros métodos de demostración.
Aunque todavía no se sabe con certeza, el último teorema de
Fermat podría ser un ejemplo de verdad no demostrable a partir
de los axiomas de Peano. Este teorema, conjeturado por primera
vez por Pierre de Fermat en 1637, afirma que si n>2, entonces
x" +y"= z" no tiene solución en los números naturales. Después de
numerosos intentos por parte de muchísimos matemáticos, el teo-
rema fue finalmente demostrado por Andrew Wiles en 1996.
Sin embargo, la demostración de Wiles excede con mucho los
métodos o los axiomas usuales de la aritmética El último teorema
de Fermat es verdadero (Wiles lo demostró), pero ¿es demostrable,
por ejemplo, a partir de los axiomas de Peano mediante los métodos
del programa de Hilbert? Hoy por hoy no se sabe la respuesta a esta
pregunta, pero la suposición más razonable parece ser que no, que el
último teorema de Fermat no es demostrable a partir de los axiomas
de Peana mediante razonamientos verificables algorítmicamente.
Sin embargo, si G no es demostrable a partir de un conjunto
A de axiomas, es perfectamente posible agregarle al conjunto A

84 EL PRIMER TEOREMA DE GÓDEL