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423 - corresponde a «d(x) es par» - reemplazamos x por
423 - «d( 423) es par» - d( 423) es el código de «d( 423) es
par».

Observemos bien el último paso: d(423) es el código de
«d(423) es par». Es decir, «d(423) es par» puede leerse como un
enunciado autorref e rente que está hablando de su propio código
y que dice «Mi código es un número par». Si «d(423) es par» tu-
viera por código al número 503, entonces el enunciado podría
reescribirse como «503 es par» y estaría diciendo, falsamente, que
su propio código es par.

EL TEOREMA DE GOODSTEIN

Tomemos un número natural cualquie-
ra, por ejemplo el 25. A partir_ de él, va-
mos a construir una sucesión de núme-
ros, llamada «sucesión de Goodstein de
sem ill a 25» (por Reuben Louis Good -
stein [1912-1985], el matemático inglés
que definió este mecanismo por prime-
ra vez). Para obtener el segundo núme-
ro de la sucesión, escribimos el 25 como
suma de potencias de 2, de manera que
cada potencia aparezca exactamente
u'na vez (el 1 es potencia de 2 porque
2º = 1):
3
4
25 = 2 + 2 + 1.
Y escribimos también cada exponente
como suma de potencias de 2:
2 2 1
25 = 2 ' +2 • + 1.
El segundo número de la sucesión se obtiene reemplazando cada 2 por un
2
2 1
3 en 2 ' + 2 • + 1 y luego restando 1:
3 1
3
3
3 1
(3 ' + 3 + + 1)- 1 = 3 ' + 3 + = 7625597485068

80 EL PRIMER TEOREMA DE GÓDEL