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Supongamos, en otro ejemplo hipotético, que 101 fuera el có-
digo de un cierto enunciado Q. Bajo esta suposición, el enunciado
« 1 O 1 es impar» se estaria refiriendo a Q y diría que «El código de Q
es impar». Ahora bien, imaginemos que buscamos a qué enunciado
corresponde el código 101 ( es decir, nos preguntamos quién es Q) y
que descubrimos que 101 es el número de Godel de «101 es impar».
En ese caso, «101 es impar» estaría en realidad refiriéndose a sí
mismo y podría traducirse como «Mi código es un número impar».
¿Es verosímil el ejemplo que acabamos de dar? ¿Es realmente
posible construir un enunciado que se refiera a su propio código?
La respuesta es sí. En su artículo, Godel expuso un método siste-
mático que permite escribir enunciados aritméticos que se refie-
ran a su propio código. Si Pes una propiedad aritmética cualquiera
(como «Ser un número par» o «Ser un número primo»), este mé-
todo, al que llamaremos método de autorref erencia, explica cómo
escribir un enunciado que puede traducirse como «Mi código
cumple la propiedad P». La herramienta esencial de este método
es una función, que indicaremos como d(x), a la que Godel llamó
«función diagonal».
¿Qué es una función? Una función es una regla que, mediante
un procedimiento específico, a cada número x le asigna otro nú-
mero, que puede ser igual o diferente a x, pero que es calculado
sin ambigüedad ( a un mismo x no le pueden corresponder dos
números diferentes). Reglas de este estilo son, por ejemplo, «Mul-
tiplicar el número x por sí mismo» o «Sumarle 3 al número x». Al
número 2, por citar un ejemplo, la primera función le asigna el 4 y
la segunda, el 5. En particular, nos interesan aquí las funciones
que, como las que acabamos de mencionar, pueden expresarse en
términos de sumas, productos y operaciones lógicas.
Las funciones proposicionales reciben ese nombre porque se
parecen a funciones, solo que no asignan números, sino proposi-
ciones. Por ejemplo, la función proposicional «x es par», le asigna
al 2, no otro número, sino la proposición «2 es par».
Ahora bien, en la escritura de las funciones proposicionales
podemos insertar funciones numéricas, siempre que estas sean
expresables en términos de sumas, productos y operaciones lógi-
cas. De este modo, podemos escribir «x + 3 es primo» o también

78 EL PRIMER TEOREMA DE GÓDEL