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LA PARADOJA DEL MENTIROSO
Una de las paradojas más antiguas que se conocen es la llamada «paradoja
del mentiroso». Una manera de formularla es preguntarse si la afirmación
«Esta oración es falsa» es verdadera o falsa. Si la afirmación es verdadera,
entonces, por lo que dice de si misma, resulta ser falsa. Pero si es falsa, tam-
bién por lo que dice de si misma, resulta ser verdadera. Caemos así en un
sinsentido, un circulo vicioso que nos lleva de la verdad a la falsedad, y de
la falsedad a la verdad, una y otra vez. En su articulo de 1931, Godel explicó
que su demostración está inspirada en la paradoja del mentiroso, solo que
en lugar de escribir un enunciado que hablara de su propia falsedad, Godel
escribió un enunciado que hablaba de su propia no demostrabilidad. El enun-
ciado «Esta oración es falsa» es un sinsentido paradójico. En cambio, el
enunciado «Esta oración no es demostrable a partir de los axiomas propues-
tos» es una verdad no demostrable.

trables es la de «Ser un primo que puede escribirse como suma o
resta de tres primos consecutivos». Tomaríamos entonces la fun-
ción proposicional «x no es un primo que puede escribirse como
suma o resta de tres primos consecutivos», que transformamos en
«d(x) no es un primo que puede escribirse como suma o resta de
tres primos consecutivos». Supongamos que a esta última expre-
sión le corresponde el número 909.
Entonces el enunciado G sería:

«d(909) no es un primo que puede escribirse como
suma o resta de tres primos consecutivos».

Supongamos además que d(909) sea el número 43. En conse-
cuencia, G sería:

«43 no es un primo que puede escribirse como suma o
resta de tres primos consecutivos».

Como ya se ha indicado antes, G tiene dos niveles de lectura.
En un nivel elemental es la expresión de una propiedad aritmética

EL PRIMER TEOREMA DE GÓDEL 83