Page 81 - 18 Godel

El método de autorreferencia nos dice que el mismo procedi-
miento puede aplicarse a cualquier propiedad aritmética P. Toma-
mos la función proposicional «x cumple la propiedad P» y la
transformamos en «d(x) cumple la propiedad P». Si el código de
esta última expresión es el número n, entonces «d(n) cumple la
propiedad P» puede leerse, vía la codificación de Godel, como un
enunciado autorreferente que dice «Mi código cumple la propie-
dad P». Veamos ahora cómo este método nos lleva finalmente al
enunciado G buscado.
Ya dijimos que «Ser el código de un enunciado demostrable»
es una propiedad expresable en términos de sumas, productos y

El segundo número de la suces1on de Goodstein de semilla 25 es
7 625 597 485 068. Para obtener el tercer número reemplazamos cada 3 por
3 1
4 1
4
3
un 4 en 3 ' + 3 • y restamos l. Nos queda 4 ' + 4 • -1, operación que da como
resultado un número de 155 cifras. Previo al siguiente paso hay que escribir
4 4 1
a 4 ' + 4 • - 1 como suma de potencias de 4, en la que cada potencia apa-
rezca como máximo tres veces y en la que los exponentes sean también
4 4 1
suma de potencias de 4. Nótese que 4 ' + 4 • - 1 no está escrito de esa for-
ma, ya que hay una resta. La escritura correcta es:
44' +44 +44 +44 +41+1+1 +41+1+1 +41+1+1 +41+1 +41+1 +41+1 +4+4+4+ 1+ l+ l.
Para obtener el cuarto número reemplazamos cada 4 por un 5 y restamos l .
Es decir:

El resultado de este último cálculo es un número de más de dos mil cifras.
Para obtener el siguiente número, reemplazamos cada 5 por un 6 y restamos
l. Y así sucesivamente. La sucesión parece crecer indefinidamente. Sin em-
bargo, el teorema de Goodstein, demostrado por Goodstein hacia 1950,
afirma que, no importa cuál sea la semilla inicial, la sucesión siempre llegará
en una cantidad finita de pasos al número O. La demostración de Goodstein
usaba conceptos de la teoría de conjuntos y quedaba abierta la posibilidad
de que no fuera realizable a partir de los axiomas de Peano. Esto fue confir-
mado en 1982 por Laurie Kirby y Jeff Paris, quienes demostraron que el
teorema de Goodstein es, en efecto, indemostrable a partir de los axiomas
de Peano mediante razonamientos verificables algorítmicamente.

EL PRIMER TEOREMA DE GÓDEL 81