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otras palabras, la propiedad «x es el código de un enunciado de-
mostrable» puede traducirse a una propiedad numérica expresa-
ble en términos de sumas, productos y operaciones lógicas. Corno
suele decirse, «Ser demostrable» es expresable.
Destaquemos que esta parte de la argumentación de Godel es
la que depende fundamentalmente del hecho de que el programa
de Hilbert solo admite demostraciones verificables algorítrnica-
rnente. Si se permitieran otros métodos de razonamiento (habla-
remos de ellos en el último capítulo), entonces no habría forma de
garantizar que la propiedad «x es el código de un enunciado de-
mostrable» es expresable en términos aritméticos.

«Todos los principios de la matemática se reducen
a principios de la lógica.»

- \VJLLARD VAN ÜRMAN QUINE EN DESDE UN PUNTO DE VISTA LÓGICO.

¿Cómo probó Godel que «Ser demostrable» es expresable?
En principio, probó que cualquier propiedad numérica que sea
verificable algorítrnicarnente ( corno por ejemplo «Ser un número
primo», «Ser par» o «Ser divisible por 9») es siempre expresable
en términos de sumas, productos y operaciones lógicas.
Ahora bien, que un enunciado P sea demostrable significa que
existe una demostración ( corno las que admite el programa de
Hilbert) de la cual Pes el enunciado final. A modo de ejemplo, ya
mostrarnos una demostración de «4 = 2 + 2» a partir de los axiomas
«S(x + y) = x + S(y)» y «x + 1 = S(x)». Recordemos que a esa de-
mostración, en cuanto sucesión de enunciados, le corresponde el
número de Godel 2414871965597. Recordemos además que a
«4 = 2 + 2» le corresponde el 67. Traducido a códigos, que «4 = 2 + 2»
sea demostrable significa que existe una secuencia finita de enun-
ciados, cuyo código es 2414871965597, que es una demostración,
y que su enunciado final es aquel que tiene el código 67.
«Ser el código de una demostración» es una propiedad verifi-
cable algorítrnicarnente porque, dado el código, para hacer la ve-
rificación, el ordenador aplicaría primero el programa que
recupera la secuencia de enunciados correspondiente a ese có-

74 EL PRIMER TEOREMA DE GÓDEL