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A cada enunciado aritmético se le asocia entonces un nú-
mero, que llamaremos su número de Godel, o su código. La asig-
nación de números de Godel se hace de una manera específica y
bien establecida que, inclusive, es programable en un ordenador.
Sin embargo, a efectos de entender a grandes rasgos la idea de la
demostración del teorema de incompletitud no es necesario dete-
nerse en los detalles técnicos de esta asignación. Los ejemplos
que mostraremos a continuación son puramente hipotéticos y sir-
ven solo para ilustrar el concepto general. Imaginemos que:

«4 = 2 + 2» - código 67
«2 es par» - código 223
«162 es divisible por 18» - código 103
«4 es impar» - código 149
«171 es par» - código 61.

Insistimos en este punto: los códigos no se asignan al azar ni
arbitrariamente. Por el contrario, debe existir un algoritmo que,
dado un enunciado, permita calcular de forma exacta cuál es su
código. También debe existir un algoritmo inverso que, dado un
código, recupere a qué enunciado corresponde. Más aún, en la
realidad, los códigos, cuando son calculados correctamente, pue-
den llegar a tener decenas de cifras. Por ejemplo, en el cálculo
real, al enunciado «1 = 1» le corresponde el código 2187000000000.
Notemos que los enunciados de los dos últimos ejemplos son
falsos. Esto muestra que se le asignan números de Godel a todos
los enunciados, tanto a los verdaderos como a los falsos. Por una
conveniencia técnica, también se le asignan números de Godel a
las expresiones genéricas, tales como «x es par» o «x es múltiplo
de 18». Expresiones que no se refieren a un número específico,
sino a un número variable x. A estas expresiones Bertrand Russell
las llamabafunciones proposicionales.
En sí mismas, las funciones proposicionales no son enuncia-
dos, ya que un enunciado, por definición, debe ser verdadero o
falso, mientras que la verdad o falsedad de «x es par» depende de
cuál sea el valor que se elija para x. Cada vez que reemplazamos x
por un número específico obtenemos un enunciado concreto que

70 EL PRIMER TEOREMA DE GÓDEL