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ellas. Si cargamos en la memoria del ordenador esas doce reglas,
entonces este será capaz de verificar la corrección de cualquier
demostración.
Cuando este teorema se publicó a principios de 1930 quedó
claro que la base lógica necesaria para el programa de Hilbert
estaba asegurada: era posible verificar mecánicamente la corree-
. ción de las demostraciones aritméticas. El problema que quedaba
por resolver era hallar un cor\junto de axiomas que ( en base a esas
doce reglas) permitiera demostrar todas las verdades aritméticas.
El teorema de completitud no suscitó una gran emoción en el
ambiente matemático. Se entendía que Godel tan solo había es-
crito prolijamente la prueba de un hecho que todos daban por
cierto; tan grande era la confianza en que el programa de Hilbert
podría completarse con éxito. Únicamente quedaba pendiente el
problema de hallar los axiomas para la aritmética.

EL TEOREMA DE INCOMPLETITUD

Establecida la base lógica que otorgaba la facultad de realizar de-
mostraciones verificables algorítmicamente, solo faltaba hallar
los axiomas que permitieran demostrar todas las verdades aritmé-
ticas. Lamentablemente para el programa de Hilbert, este objetivo
es inalcanzable. El teorema que expone esta imposibilidad se co-
noce como el «primer teorema de incompletitud de Godel», o más
familiarmente, como el teorema de Godel:

Si elegimos como axiomas cualquier conjunto de enunciados arit-
méticos verdaderos y exigimos que las demostraciones que hagamos
a partir de ellos sean verificables algorítmicamente, entonces habrá
al menos un enunciado verdadero que no puede ser demostrado a
partir de esos axiomas.

Godel probó este teorema en 1930 y, como ya sabemos, lo
expuso abiertamente por primera vez en el congreso de Konigs-
berg, el 7 de septiembre de ese año. El artículo con el desarrollo

EL PRIMER TEOREM A DE GÓDEL 65