Page 61 - 18 Godel

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Axioma _. Enunciado _. Enunciado 7 8
-
Enunciado _. Teorema
4 5 6 }
J
Axioma -+ Enunciado _. Enunciado

El primer axioma nos dice que el sucesor de un número x Estructura
lógica de la
siempre se obtiene sumándole l. El segundo axioma puede tradu- demostración
cirse como (x +y)+ 1 = x +(y+ 1). A partir de estos dos axiomas de que 4=2+2.
Las flechas
vamos a demostrar que 4 = 2 + 2. indican la
aplicación
Pero ¿es realmente necesario demostrar que 4 = 2 + 2? ¿No es de reglas de
un hecho obvio? Aunque en ·efecto es obvio, según el programa inferencia.
de Hilbert toda afirmación verdadera que no sea un axioma debe
ser demostrada a partir de ellos. Excepto los enunciados que
hayan sido explícitamente indicados como axiomas, no hay
otras afirmaciones que se acepten por sí mismas como verda-
deras.
Probemos entonces que 4 = 2 + 2, pero anotemos el razona-
miento de tal modo que pueda ser procesado por un ordenador.
Insertaremos además algunos comentarios para que nosotros,
seres humanos, podamos seguir la idea (véase el esquema):

l. 8(x + y) = x + 8(y) Axioma 2.
2. 8(2 + 1) = 2 + 8(1) Tomamos x = 2 e y = 1 en el axioma 2.
3. 8(2 + 1) = 2 + 2 Reemplazamos 8(1) por 2 en el paso
anterior.

Comentario: Los tres pasos que siguen forman una pequeña
«subdemostración» en la que se prueba que 2 + 1 = 3; de este modo,
en el paso 3 podremos reemplazar 8(2 + 1) por 8(3).

4. x + 1 = 8(x) Axioma l.
5. 2 + 1 = 8(2) Tomamos x = 2 en el axioma l.
6. 2 + 1 = 3 En el paso anterior reemplazamos
8(2) por 3.

EL PRIMER TEOREMA DE GÓDEL 61