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una constante c,J(x,y) = c. La distancia x es claramente el valor
0
de la abscisa, mientras que la ordenada está dada por el valor de
la longitud del segmento y O Nótese que el ángulo a no necesaria-
mente es recto, como ocurriría en el sistema actual de coordena-
das cartesianas. De hecho, el ángulo es arbitrario (autores
posteriores caerían en la cuenta de que es mucho más sencillo
hacer que a sea recto). El punto que se mueve sobre el lugar
geométrico es A. Podemos verlo moverse a la posición A', que
corresponde a unaabscisax yunaordenaday • El punto a obser-
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vares que f(x ,y) =f(x"y) =c; es decir, la ecuación se cumple
0
para todos los puntos A sobre el lugar geométrico, y, recíproca-
mente, los puntos A están totalmente definidos por la ecuación.
Esta es la correspondencia clave entre geometría y álgebra que
proporciona la geometría analítica -la notación es anacrónica;
Fermat no hubiera usado la notación de funciónf(x,y)-.
Hay un concepto implícito en esta exposición que fue funda-
mental en el desarrollo del cálculo: la variación continua. Al usar
un eje monoaxial Fermat se concentró en cómo se mueve un
punto sobre la curva que define el lugar geométrico. Esto es con-
ceptualmente distinto del proceso de representar gráficamente
puntos en un plano con dos ejes coordenados e interpolar la curva
entre ellos, que es como la mayoría de nosotros hemos aprendido
a hacer una gráfica. La visión de Fermat es dinámica: corresponde
a un punto que se mueve de una cierta forma, es decir, que tiene
una cierta trayectoria, y por tanto, casi sin quererlo, Fermat le dio
realidad física a su geometría analítica, introduciendo una fom1a
de ver las cosas que resultaría fundamental en los trabajos poste-
riores de Newton, Leibniz y la familia Bemoulli. Otra caracterís-
tica a resaltar del sistema de Fermat es que solo incluye cantidades
positivas, tanto para las abscisas como para las ordenadas, por lo
que sus curvas están siempre en el primer cuadrante del plano y,
por tanto, a veces pierden entre la mitad y las tres cuartas partes
de su extensión. Una parábola con vértice en el origen y foco en
el eje x, por ejemplo, sería solo media parábola.
El teorema central que Fermat demuestra en su Isagoge es
que todas las cónicas, además de la línea recta y el círculo, pueden
ser expresadas por ecuaciones generales de segundo grado o de

LA GEOMETRÍA ANALÍTICA 109