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primer grado, en el caso de la recta. Ferrnat divide todas las ecua-
ciones posibles de primer o segundo grado en siete casos «canó-
nicos», demostrando que cualquier ecuación de primer o segundo
grado se puede reducir a uno de esos siete casos, que correspon-
den respectivamente a un círculo, una elipse, una parábola y dos
tipos de hipérbola y dos tipos de línea recta. Las demostraciones
de cada uno de los casos son más prolijas de lo que Ferrnat acos-
tumbraba, pero aun así obvian varios pasos que le parecían evi-
dentes, por provenir de obras clásicas tales como los Data de
Euclides, el tratado de Cónicas de Apolonio o las propias obras
de Vieta.
Al igual que Vieta, Ferrnat omite invariablemente la prueba
sintética, la ruta que nos llevaría desde el lugar geométrico hasta
su ecuación correspondiente, considerándola trivial y utilizando
solo el método analítico para ir desde la ecuación hasta el lugar
geométrico. Pero está claro en todo momento que Ferrnat piensa
-como en efecto ocurre- que sus teoremas son bidireccionales,
es decir, que también se da que para todo lugar geométrico hay una
ecuación. Finalmente, en sus pruebas Ferrnat utilizó, sin destacar-
las demasiado, una serie de transformaciones típicas de la geome-

SOLUCIONES GRÁFICAS A ECUACIONES DE GRADO SUPERIOR

En un apéndice que circuló poco tiempo después de su Isagoge, Fermat di-
señó un método general para convertir una ecuación cúbica o cuártica en un
sistema de ecuaciones de segundo grado. Se trata de buscar un punto de
intersección entre dos curvas. Así, la ecuación determinada x +bx =bc, me-
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diante la introducción de una nueva variable y, se convierte en dos ecuaciones
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indeterminadas: x +bx=by, c=xy. Claramente, se trata de la intersección en-
tre una parábola y una hipérbola. Por desgracia, el mismo espíritu geométrico
del método impidió a Fermat buscar más de una raíz (una intersección), dado
que, influido por los griegos, le bastaba una sola raíz positiva. El tolosano
utilizó estos resultados para atacar la clasificación de curvas de Descartes, en
una polémica que hoy en día se antoja estéril, ya que dichas clasificaciones se
han vuelto irrelevantes.

110 LA GEOMETRIA ANAlÍTICA