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N acta impide ahora analizar polinomios de grado superior.
Esta traslación del concepto de dimensionalidad fue la puerta que
abrió la reducción de la geometría al álgebra. Pero además, dichas
incógnitas se relacionaban a través de una ecuación indetermi-
nada, es decir, una ecuación con un número infinito de puntos: el
lugar geométrico.
Previamente a la geometría analítica, los lugares geométricos
se describían de acuerdo con sus propiedades, o bien, como en el
caso de las cónicas, como intersecciones de un volumen y una
superficie. La geometría analítica cambió el paradigma por com-
pleto, permitiendo que el número limitado de curvas que habían
estudiado los griegos, y que tenían que construirse una a una, se
multiplicara hasta el infinito. Esto no es una exageración. En
efecto, el número de ecuaciones en dos incógnitas es infinito, y
como a cada una de ellas corresponde una curva, el número de
posibles curvas es también infinito.
Adicionalmente, la algebraización de la geometría permitía
introducir la enorme flexibilidad de las operaciones algebraicas,
sumas, restas, multiplicaciones, divisiones, elevación y potencias
y extracción de raíces, que, junto con la teoría de ecuaciones, per-
mitían resolver muchos problemas de forma casi mecánica. Com-
parado con el laborioso método constructivo de los geómetras
griegos, la geometría analítica era un método extraordinariamente
poderoso para resolver problemas, como Fermat demostró al
abordar· algunos teoremas de Papo que nunca habían sido resuel-
tos, y un problema de Galileo, en el que corrigió al propio maestro
toscano: mientras Galileo pensaba que una bala de cañón que cae
hacia el centro de una Tierra en movimiento sigue una trayectoria
circular, Fermat descubrió que la trayectoria es una espiral. Gali-
leo, en correspondencia con Fermat, aceptó la corrección.
Ahora bien, el programa de Descartes, aunque riquísimo en
sus consecuencias, no fue perseguido por el autor. Su intención
era mostrar una nueva forma de pensar, más que encontrar nue-
vos resultados matemáticos. Paradójicamente, en 1637, cuando la
carrera matemática de Fermat apenas comenzaba, Descartes, por
voluntad propia, concluía la suya. La Geometría que publicó era
parte de un libro en el que había tres tratados científicos, precedi-

106 LA GEOMETRÍA ANALÍTICA