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LA SINCRISIS DE VIETA

La sincrisis consiste en combinar ecuaciones similares para obtener expresio-
nes que relacionan sus raíces con sus coeficientes. Por ejemplo, de la ecuación
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bx- x =c, que tiene una raíz x, se puede obtener la ecuación by-Y =c, donde
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y es la otra raíz. Vieta igualaba ambas ecuaciones: bx-x =by-y , de donde
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2 2
2 2 x - Y
b(x-y)=x - y <-+b=---=x+y;
x-y
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y, sustituyendo, c=(x+y)x-x =x +xy-x =xy. De esta forma, tanto b como e
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estaban expresados en términos de x e y.

que no eran aceptables, desde las u.racionales hasta las complejas,
pasando por las negativas). El caso es que Vieta había inventado
un método para expresar los coeficientes de una ecuación en tér-
minos de dos de sus raíces, al que llamó sincrisis.
Fermat utilizó este método para manipular su ecuación cua-
drática de una forma novedosa. Planteó que existía una raíz x y
llamó a su otra raíz x + h, donde h, según él mismo aclara, puede
ser cualquier valor. A continuación seguía un paso decisivo y
extraño. Fermat «adigualó» la ecuación con valor x con la ecua-
ción con valor x+ h: f(x ) ef(x+ h). Llamó a esta operación «adi-
gualar», usando un término prestado de Diofanto. Sin embargo,
en realidad, en toda la teoría de ecuaciones de Vieta no existe
justificación matemática formal para llevar a cabo esta extraña
operación.
Por si fuera poco, Fermat se dedicó luego a eliminar varios
términos que contuvieran h dividiendo por h:

f(x) f(x+h)
--9'-'---'----'-
h h

Finalmente, decretó que h era cero y que, por tanto, las dos
raíces eran una sola. Esa es la forma de asegurar la unicidad, fi-

CONTRIBUCIONES DE FERMA T AL CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 117