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BE. Fermat consideraba el punto O arbitrario, exterior a la pará-
bola. Aquí se ve claramente que Fermat estaba lejos aún del con- .
cepto de infinitésimo; en el cálculo infinitesimal, el punto O de-
bería estar arbitrariamente cerca del punto B. Acto seguido,
consideró la propiedad de la parábola, definida por Apolonio en
forma de proporción:

2 2 2 2
BC I ZI = ci5 I DI. Como 01 > zl, ci5 I DI> BC I 01 •
Por semejanza de los triángulos BCE y OIE se tiene que

2
BCI 01 = CE I JE, por lo que ci5 I DI> CE 2 / IE •

Sean ci5 = d , el = e y CE = a . Este último segmento es la
subtangente. Entonces,
d a2
-->---
d-e (a - e)2
2
2
2
2
2
2
y d(a-e) >a (d-e), de donde da -2dae+de >da -a e.
Seguidamente se adigualan ambos miembros de la desigual-
2
2
2
dad: da -2dae+de2ada -a e, y eliminando y transponiendo tér-
2
2
2
minos: de + a ea 2dae. Dividiendo por e: de+ a a 2da. Finalmente,
2
Fermat ignoró el término que contiene e: a = 2da, por lo que a= 2d.
De esta forma se halla el punto E, determinando la subtangente a
la parábola (CE).
ElMethodus se escribió antes de que Fermat inventara la geo-
metría analítica. Su única visión de las curvas clásicas seguía
siendo la de Apolonio. Es por ello que Fermat seguía empleando
las definiciones geométricas del griego en vez de su posterior vi-
sión algebraica. Pero en la Investigación analítica esto había
cambiado, y Fermat ya era capaz de utilizar el gran poder de sus
ecuaciones algebraicas para atacar tanto el problema de máximos
y mínimos como el de tangentes. De hecho, cada vez había menos
diagramas en sus escritos. Le bastaba con la ecuación, que definía
totalmente una curva, para analizar a fondo sus propiedades. Me-
diante dicha ecuación sería capaz de buscar máximos y mínimos,
por un lado, y tangentes por otro. El método algebraico revelaba

CONTRIBUCIONES DE FERMAT AL CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 121