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sitaba acotar el área entre dos sumas. Le bastaba una sola suma en
la que se adigualaba el lado superior de cada rectángulo con un
segmento muy pequeño de la hipérbola. Cuanto más pequeño fuera
el segmento, más cercana era esa adigualdad, y por tanto, más cer-
cana estaba el área bajo el segmento de curva al área del rectán-
gulo correspondiente. La diferencia es sutilisima, pero fundamental.
Tan sutil que Ferrriat no se dio cuenta de lo importante que
era el cambio. Su concepto de adigualdad había cambiado: ya no
se trataba de adigualar cantidades finitas cualesquiera. Fermat
había encontrado los infinitésimos. Sin embargo, estaba seguro
de continuar la tradición de Arquímedes. No entendió .que el salto
conceptual que había dado era tan grande que sus admirados
maestros griegos no podían ya seguirle al terreno inexplorado
que estaba abriendo. De nuevo, sin darse cuenta enterraba la tra-
dición que tanto respetaba. En efecto, la cuadratura de curvas es
la operación que hoy en día llamamos integración, aunque, como
en el caso de las tangentes, Fermat no supo ver que el área bajo
una curva era también un~ ecuación.

LA RECTIFICACIÓN

Si cuadrar significa encontrar un área rectangular igual a otra
determinada por una curva, rectificar significa encontrar una
línea recta igual en longitud a la de una línea curva. Una vez más,
el problema se remonta a los griegos.
Aristóteles había dictaminado que era imposible encontrar
una línea recta igual en longitud a una línea curva. Su autoridad
era tan grande que, en el siglo XVII, la mayoría de los matemáticos
estaba de acuerdo, a pesar de que ya se habían logrado algunas
rectificaciones, en particular por Arquímedes. Siguiendo a dicho
maestro, Fermat estaba convencido de la posibilidad de recti-
ficar curvas. Su trabajo al respecto es la única instancia de un
tratado de Fermat que fue publicado de forma impresa en vida
del autor, como un apéndice de la obra de un amigo, el jesuita
tolosano Antoine de Lalouvere (1600-1664), en el tardío año de

CONTRIBUCIONES DE FERMAT AL CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 131