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Muy pronto los griegos se dieron cuenta de que cuadrar cier-
tas curvas era muy difícil. En particular, una de las más elementa-
les: el círculo. Por más esfuerzos que hicieron, los griegos no
pudieron construir un rectángulo con lados racionales que tuviera
la misma área. La razón de tales fracasos no se descubrió hasta
el siglo XIX: el número n:, con el que se expresa necesariamente el
área del círculo, no puede expresarse ya no digamos de forma
racional, sino ni siquiera como el resultado de una ecuación alge-
braica. En la actualidad, tales números son llamados trascenden-
tes, y son parte de los números irracionales.
La dificultad de cuadrar ciertas curvas en términos racionales
no escapaba a Fermat, pero, como hemos dicho, su geometría
analítica había dado lugar a un número infinito de curvas. En par-
ticular, curvas de grado superior al cuadrado de las cónicas eran
de pronto perfectamente tratables como ecuaciones. Así que, en
vez de obsesionarse por curvas no cuadrables como el círculo,
Fermat aplicó su método a las curvas de grado superior. La con-
vicción de Fermat de que dichas curvas estaban perfectamente
determinadas por su ecuación poco a poco le llevó a no preocu-
parse por la representación geométrica. En sus cartas y tratados,
con cada vez mayor énfasis, olvidaba la gráfica de la curva y se
concentraba en la manipulación algebraica. Como siempre, Fer-
mat empezó su trabajo a partir de un griego. Esa vez no era Apo-
lonio ni Diofanto, sino Arquímedes. Sus trabajos definitivos sobre
el tema fueron publicados por su hijo Clément-Samuel, después
de su muerte, y aunque fueron incomprendidos por personas de
la talla de Huygens, el autor ya no estaba presente para, como hizo
con Descartes, aclarar lo que quería decir.
Volviendo a los tempranos tiempos de su correspondencia
con Mersenne y Roberval, en 1636, encontramos a un Fermat ocu-
pado con el tratado sobre espirales de _Arquímedes, en el que este
había determinado la cuadratura de la espiral que lleva su nombre.
Fermat extendió este método a otras espirales, como la que había
definido para el problema de Galileo mencionado anteriormente.
Fermat retó a Roberval a encontrar la cuadratura de la parábola
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sólida, una función cúbica: y = kx, que consideró por primera vez
y que se parecía mucho a una parábola. Roberval contestó de in-

CONTRIBUCIONES DE FERMAT AL CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 129