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....--------------- - mediato. Terúa ya un método si-
milar al de Fermat, basado en un
teorema de suma de potencias de
enteros que el tolosano había en-
contrado durante sus investigacio-
nes sobre teoría de números, y en
A C el antiguo «método de exhaución»,
inventado por Eudoxo y aplicado
por Arquímedes. Consiste en aco-
tar el área que buscamos entre dos
Ilustración del sumas (véase la figura). Una de las sumas es la de los rectángulos
método de
exhaución, mayores DEFG -circunscritos- al área real bajo la curva; la otra
acotando el área es la de los rectángulos menores HIFG -inscritos- a dicha área.
bajo la curva entre
un área mayor y Evidentemente, el área real está entre las dos sumas. El método de
una menor.
exhaución consistía en proponer un área y demostrar por una doble
reducción al absurdo que era la única que podía estar entre ambas
sumas; no podía ser sino el área real.
El método de Fermat y Roberval fallaba para ciertas curvas,
como rápidamente se dieron cuenta ambos. Pero Fem1at pareció
desinteresarse del tema. Sin embargo, en 1658, respondió casi in-
mediatamente a la reciente obra de Wallis sobre cuadraturas ha-
ciendo circular un tratado propio que, claramente, terúa que haber
estado rumiando durante muchos años.
En su Tratado de cuadraturas, Fermat demostraba lo lejos
que había llegado. Su método ahora era aplicable a todas las hipér-
bolas de grado mayor que dos, que se le habían resistido veinte
años antes. Había cambios radicales. Ahí donde Arquímedes (y los
métodos tempranos del propio Fermat y de Roberval) buscaban
sumas finitas, Fermat ahora aceptaba la posibilidad de una suma
infinita de rectángulos en el eje de las abscisas. Era la única forma
de analizar el área bajo una hipérbola, ya que la alternativa impli-
caba no un número infinito de rectángulos, sino un número finito
de rectángulos, uno de los cuales terúa área infinita. Un rectángulo
de área infinita sumado a otros rectángulos da un área infinita. En
cambio, un infinito de rectángulos puede, en ciertas condiciones,
dar un área finita. Pero además, el método de Fermat se alejaba del
método de exhaución en el hecho fundamental de que ya no nece-

130 CONTRIBUCIONES DE FERMAT AL CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL