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El álgebra simbólica permite representar un número sin saber
exactamente qué número es. Ya no es «la cosa», es la x. De hecho,
como en el caso del último teorema, se pueden expresar núme-
ros «que tal vez ni siquiera existen», los x, y, z de la ecuación de
Fermat. Ello implica que se puede razonar sobre clases enteras
de problemas, y hacer aseveraciones sobre un número infinito de
problemas similares conociendo solo su estructura algebraica, la
relación entre las variables a través de una ecuación. Es decir, es
posible hablar de ecuaciones de una forma general. Por ejemplo,
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se puede decir de forma rápida y sencilla que a - b = (a+b) (a - b),
y que esto se cumple para cualesquiera a y b. El álgebra simbólica
libera nuestra mente de las pesadas descripciones verbales y nos
permite razonar a otro nivel, de la misma forrna que los números
indoarábigos nos ayudan a calcular. Esta revolución fue posible
gracias a Vieta y, posteriormente, a Descartes.
Tras la anterior exposición, se hace necesario detenerse un
poco en ciertos conceptos. Los matemáticos griegos hacían prue-
bas rigurosas, usualmente constructivas. Estas pruebas se llama-
ban «sintéticas», e iban desde las hipótesis del teorema hacia su
conclusión, con reglas lógicas, paso a paso. Pero rara vez un ma-
temático toma un camino tan directo cuando está descubriendo
sus resultados. El matemático, y los griegos no eran una excep-
ción, usa métodos heurísticos, informales, para comprobar si
tiene razón o no, antes de intentar una prueba. En Grecia, los ca-
minos tentativos con los que el matemático intentaba indagar
sobre la prueba, una especie de andamiaje que desaparece de la
exposición final de la prueba, se llamaba análisis (hay que hacer
notar que dicha palabra tiene un significado totalmente distinto en
la matemática actual), mientras que la prueba era la síntesis. El
análisis procede a partir de la conclusión hacia las hipótesis,
mientras que una prueba normal, rigurosa y sintética procede
siempre en sentido contrario. Para desesperación de sus lectores
de los siglos xvr y XVII, los griegos no dejaban trazas de su método
analítico. Borraban sus huellas para dejar solamente el rigor y la
belleza de la prueba sintética. Papo, escribiendo siglos después de
las cumbres de la matemática helenística, fue uno de los pocos
autores que dejó trazas analíticas.

LA GEOMETRÍA ANALÍTICA 97