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A primera vista, esta forma de proceder parece extraña. Los
recíprocos de los teoremas no tienen por qué ser ciertos (véase, por
ejemplo, el pequeño teorema de Fermat). De alú que la traducción
del análisis ( en dirección contraria) en prueba sintética ( en la direc-
ción, digamos, con-ecta, de las hipótesis a la conclusión), no sea
automática Pero los griegos se valieron de ingeniosos métodos para
poder invertir sus análisis y convertirlos en una demostración en
toda regla. En particular, observaron que en geometría, en muchas
ocasiones, los pasos sí son invertibles. En otras ocasiones, introdu-
jeron hipótesis auxiliares para que dichos pasos fueran invertibles.
El análisis, tal como lo practicaban los griegos, encontró tam-
bién vida entre los algebristas árabes y los cosistas. Ahora bien,
las ecuaciones del álgebra son esencialmente invertibles. Si se van
aplicando las reglas de conversión de una ecuación, el camino
inverso siempre puede transitarse. Por ejemplo, podemos pasar
de escribir a - b a escribir (a + b) (a - b) .. . , o bien hacerlo al revés.
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Esto es así porque dos expresiones iguales entre sí son libremente
intercambiables. Vieta se dio cuenta de esto y descubrió que si
basaba el análisis en el álgebra, utilizando únicamente manipula-
ciones de ecuaciones e identidades, sus demostraciones serían
automáticamente verdaderas. Esto le llevó a postular, de forma
revolucionaria, que análisis y álgebra eran una y la misma cosa, lo
que él llamó arte analítico.
Había ahora una forma general de razonar sobre las ecuacio-
nes, y un problema podía resolverse en dos pasos: el plantea-
miento, que es la traducción al álgebra simbólica del problema en
la forma de una ecuación, y la manipulación algebraica hasta dar
con la solución. Lo que se practica en las clases de matemáticas
en el instituto. De esta manera, en vez de enfocarse en la solución
misma de una ecuación particular, como habían hecho los cosis-
tas, Vieta se concentró en las reglas para manipular la ecuación:
sumar términos de ambos lados, restar términos, elevar a poten-
cias, extraer raíces, multiplicar o dividir por factores, buscando
fórmulas generales de manipulación, que dependieran solo de la
estructura de la ecuación. Buena parte del tratado de Vieta está
dedicado a catalogar las identidades mediante las cuales se llevan
a cabo esas manipulaciones.

98 LA GEOMETRÍA ANALÍTICA