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La resolución de este tipo de problemas, que se encuentran
de forma natural en nuestra vida diaria, ha ocupado a los matemá-
ticos desde los inicios de esta ciencia. Obviamente los problemas
del tipo x - 3 = O tienen una única raíz, que es 3. Si consideramos el
polinomio x + 3 = O, para resolverlo tendremos que considerar los
números negativos, ya que la solución es -3. Es por ello que se vio
la necesidad de ampliar el conjunto de los números naturales al
conjunto de los números enteros, que incluyen también los nega-
tivos. Babilonios y egipcios se dieron cuenta de que la resolución
de ecuaciones simples de grado 1 necesitaba de una nueva amplia-
ción, en este caso las fracciones, puesto que la solución de la
ecuación 3x- 2=0 es la fracción 2/3. Al conjunto que incluía las
fracciones se le denominó conjunto de los números racionales.
Cuando se eleva el exponente del polinomio, las cosas se
complican y una ecuación tan simple como x2- 2 = O llevó a los
griegos a un gran desconcierto, puesto que su solución no era
posible expresarla en fom1a de fracción. De hecho encontraron
una demostración analítica que probaba que .J2 no era un número
racional por medio de la reducción al absurdo.

✓2 NO ES RACIONAL

Los matemáticos griegos encontraron una demostración ingeniosa y fácil-
mente comprensible de la irracionalidad de ✓2, usando la reducción al absur-
do, que consiste en suponer lo contrario de lo que queremos probar y llegar
a una contradicción lógica. Supongamos que ✓2 es racional, o sea, que se
puede expresar mediante una fracción cualquiera p/q. Supongamos ahora,
sin pérdida de generalidad, que la fracción es irreducible, o sea que p y q son
primos entre sí. En otro caso, bastaría dividir los dos elementos de la fracción
por el máxi mo común divisor. Como ✓2 = p / q, tenemos que, elevando al
2
2
cuadrado los dos términos, 2 = p 2 / q , por lo que 2 q = p , o sea que p es un
2
2
número par y, por tanto, también lo es p . Como p es par, entonces existe
un número k natural de manera que p=2k. Si sustituimos el nuevo valor de p
2
en nuestra ecuación, tenemos 2q = 4k , lo que implica que q = 2k , o sea que
2
2
2
q también es par, lo que contradice que la fracción de la que partimos era
irreducible, y por tanto la hipótesis de que ✓2 es racional es falsa.

«DISQUISITIONES ARITHMETICAE» 49