Page 50 - 11 Gauss

Ante la imposibilidad de expresar números como J2 en forma
de fracción, los matemáticos les asignaron el apelativo de irracio-
nales. A pesar de las dificultades para describirlos de manera
exacta, los números irracionales poseen un significado real, ya
que se pueden ver como puntos marcados en la recta numérica.
La raíz de 2 está entre 1,4 y 1,5 y si se construye un triángulo rec-
tángulo cuyos dos catetos midan 1, sabemos que su hipotenusa es
la raíz de 2, aplicando simplemente el teorema de Pitágoras. Al
cortjunto de números que incluía ambos tipos de números, los
racionales y los irracionales, se le llamó números reales y se re-
presentan en la recta real.
El problema de la búsqueda de raíces de un polinomio se
complicaba cuando se trataba de encontrar soluciones para ecua-
2
ciones tan aparentemente sencillas como x + 1 = O. Parecía evi-
dente que ningún número elevado al cuadrado puede dar un
número negativo, tanto si es positivo como negativo. Así pues se
tuvo que crear un nuevo tipo de números que resolvieran esas
ecuaciones. El nuevo número,~' se llamó número imaginario
y fue notado como i. El crear aparentemente de la nada una solu-
ción para esta ecuación parece un engaño, ¿por qué no aceptar
que la ecuación no tiene soluciones? La respuesta es que esa solu-
ción aporta enormes avances aritméticos y no comporta contra-
dicciones lógicas. Sin ir más lejos, los aviones no habrían alzado
jamás el vuelo si los ingenieros no hubieran entrado en el mundo
de los números imaginarios. Así pues, si utilizamos la nueva nota-
2
ción y resolvemos x + 1 = O, que es la ecuación de un polinomio
2
cuadrático de la forma ax + bx +e= O, con la conocida fórmula de
las ecuaciones de segundo grado:

-b ± ✓b 2 - 4ac ±-✓4 ±2~ ±2i
-
X = 2a =-2-=-2-=2,

lo que da lugar a las raíces i y -i, por tanto, tenemos que
x2- + 1 = (x + i) • (x - i ), de acuerdo con el teorema fundamental del
álgebra.
El primero en usar los números imaginarios, también llamados
complejos, fue el matemático italiano Girolamo Cardano (1501-1576),

so «DISQUISITIONES ARITHMETICAE»