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EL REPARTO DE LA RECTA REAL ENTRE RACIONALES E IRRACIONALES
La recta real está formada por números racionales, o que se pueden repre-
sentar mediante fracciones, e irracionales, aquellos para los que esto no es
posible. La pregunta que nos podemos hacer es: ¿cómo se reparten los dos
conjuntos en la recta? ¿Hay un reparto equilibrado que hace que la convi-
vencia de los dos subconjuntos en los reales sea sencilla? Para responder a
esta pregunta tenemos que hacer varias reflexiones, algunas muy sorpren-
dentes. Dados dos números cua lesquiera del conjunto de los números ra-
ciona les, que se suele notar por IQ, siempre se puede encontrar otro núme-
ro racional que esté entre ellos. Ello es bastante evidente. Si q,, q EIQ
2
entonces
ql +q2 E IQl
2
y es un número que está entre los dos anteriores por construcción. Y pode-
mos construir un número racional que esté entre el que hemos calcu lado y
alguno de los anteriores, iterando el proceso tantas veces como queramos.
Como consecuencia podemos afirmar entonces que entre dos números ra-
cionales cualesquiera existen infinitos números racionales, no importa lo
próximos que escojamos los números iniciales. Ello da una idea de que los
racionales son números que están tan cerca unos de los otros como nosotros
deseemos. Esta propiedad recibe en matemáticas un nombre bastante ilus-
trativo de lo que significa, y es que se dice que IQl es denso en el conjunto de
los números reales. O sea, si x es un número real y es el centro de un inter-
valo de la recta real, dicho interva lo contendrá números racionales por pe-
queño que sea dicho intervalo. Nos podemos preguntar entonces ¿quedan
huecos en la recta real para los números irracionales? La respuesta es sor-
prendente: el conjunto de los números racionales es de medida nula.¿ Y eso
qué significa? Entre otras cosas, algo que podemos entender con faci lidad:
la probabilidad de que, al situarnos al azar en un punto de la recta real, dicho
punto sea racional es cero. Y los matemáticos reservan la probabilidad cero
solo para los sucesos imposibles. Lo que sorprende y es algo frustrante es
que se dedique tanto tiempo de nuestra vida escolar a dominar la aritméti-
ca de un conjunto que es tan minoritario en la recta real.

quien los usó en la fórmula para resolver las ecuaciones cúbicas,
pero el término «número complejo» fue introducido por Gauss en
la demostración del teorema fundamental del álgebra en su tesis.
Además Gauss comprendió en profundidad los números comple-

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